Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 (A. 5)

L. KOENIGSBERGER:

während die Gleichungen Ho=0, H^=0 die Beziehungen liefern
(15) ?o(?of2-fo(?l + ?2)) = ?l(?ofl-fo(?!) + ?l))
(16) ?o(?of3-fo?^?2(?ofl-^(?!) + ?l)) -
Da wir wieder annehmen dürfen, daß %, <pi, % keinen gemein-
samen Teiler haben, so folgt auf Grund der obigen Hilfsbemer-
kung, daß die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß
P nach Q' und Q mit in x ganzen Koeffizienten zerlegbar ist, da-
durch ausgedrückt wird, daß f(, durch % teilbar ist, und wir haben
somit nur die Frage nach der Beschaffenheit der Lösungen von
<Po zu erörtern, damit diese Bedingung erfüllt ist. Besitze
l) % den Faktor (x—<x)* und sei cpi^0mod(x—<x),
so folgt aus (15), daß fo(<Po+<Pi) durch (x—x)* teilbar ist; .es wird
somit, wenn x>l ist, fg den Divisor (x—x)* enthalten, und daher,
wenn % nur vielfache Lösungen besitzt, fg durch % teilbar sein.
Ist jedoch x = l, so kann aus der Teilbarkeit von fo(?o+?i) durch
x—<x nur geschlossen werden, daß fo durch x—x teilbar sein muß,
wenn <pQ+(pi^0mod(x—x) ist, wiewohl auch die Teilbarkeit von
Io durch x—<x bestehen kann, wenn <pQ + (pi = 0mod(x—<x) ist. Wir
finden somit, daß, wenn
?o = (x-x)* (x-ß)^ (x-y)^ - - - (x-a) (x-b)... (x-a^ (x-b^)...
ist, worin x, k, ;a...>l, und die einfachen Lösungen a^ bi,... so
beschaffen sind, daß unter der Voraussetzung, daß ^ keine Lösung
mit % gemein hat, <?o + ?i = 0mod(x—a^), mod(x—b^), ... ist, im
allgemeinen ^ nur durch
_?o_
(x-ai)(x-bi)...
teilbar und daher auch nur
(x-ai) (x-bi) ...P
mit in x ganzen Koeffizienten zerlegbar sein wird, was in der Tat
in dem obigen Beispiel (12), (13), in welchem