Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A. 5)

L. KOENIGSBERGER:

?WTi = (x-^gWx(x-x^ ^go + (x-^g^O, wenn x>l,
und ^ 0, wenn x = 1,
und
?i + ?2^(x-^)^gi + g(x-K)^gi + g2^E0, wenn g>l,
und =gi+g2, wenn ^ = 1
ist, so ergibt sich durch Zusammenfassen der für l) und 2) ge-
wonnenen Resultate, daß, wenn (po = (x—<x)*go, (pi = (x—x)^gi,
(?2 = (x—K)Pg2, worin go,gi,g2^0mod(x—x) sind, für x>l g>l,
x>l g = 0, x = l p.^1 die Koeffizienten Go und G^ durch x—x
teilbar sind, während dies im allgemeinen für x>l ;r = l nur statt-
finden wird, wenn c^ + cpg^O, und für x = l g = 0, wenn <po + *Pi^O
ist; die Teilbarkeit von Go und G^ durch x—x wird daher nicht
notwendig stattfinden für die Differentialgleichungen
Q = (x-x)goy" + giy + (x-x)Pg2y = 0,
worin p>0, wenn (po + ^ = 0, und
Q = (x-x)'"goy" + (x-x)giy + ggy = 0 ,
wenn (p^-^-(p2^0 ist.
Da nun dieselben Schlüsse für jeden linearen Teiler von (po
gelten, so wird sich der Gleichung (14) zufolge das nachstehende
Resultat ergeben: Wenn % die Lösungen x, ß, ... mehrfach, die
Lösungen a, b, ... einfach enthält, und es besitzt (pi von den Größen
x, ß,... die Lösungen x^, ß^, ... mehrfach, oder wenn einfach und
es ist
^ + <P2^0mod(x—xj, mod(x—ßj, ...,
und enthält ^ von den Werten a,b, ... die Lösungen a^bi, ...
mehrfach oder einfach, oder wenn garnicht und es ist
(Po + (pi^0mod(x—ai), mod(x—b^), ...,
so werden sich in (14) alle linearen Teiler von wegdividieren
lassen, und somit die Zerlegungsform von P selbst nach Q' und Q
nur in x ganze Koeffizienten besitzen; die aufgestellten Bedingun-
gen werden daher für diese Zerlegung hinreichende sein.