Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

16 (A. 5)

L. KoBNIGSBERGBR:

^o'To*§0
To^i + fo [(^-^) ?o + Ti]: ?o = gl
To ^2 " To ^o [(R " ^)2 To + (^ -^)i Ti + T2]
" [To^ 1 + ^o ((^"v) ^ + cpi)] [(n - v-l) ^ + (p^]: ^ = gg
usw., worin go,gi,g2? - -- ganze Funktionen von x sein sollen.
Um zunächst nur eine unmittelbare Anwendung von diesen Be-
ziehungen hervorzuheben, nehmen wir an, daß tx eine einfache
Lösung von fo ist, für welche auch (po(x) = 0 ist; dann wird, weil gp
eine ganze Funktion von x sein soll, K auch eine einfache Lösung
von % sein müssen, und somit, wenn <x auch eine Lösung von f^
ist, da gi in x ganz sein soll,
(n—v)(pQ + cpi 0 mod (x—<x)
sein, also <pi nicht die Lösung tx haben dürfen. Wir finden somit,
daß, wenn fp die einfache Lösung <x besitzt, die auch fi(x) und
(Po(<x) zu Null macht, eine notwendige Bedingung für die Möglich-
keit einer ganzen Zerlegung von P, wenn P = 0 ein Integral mit
der irreduktibeln Gleichung Q = 0 gemein hat, die ist, daß die
Lösung <x der Funktion <pi nicht angehört und die obige Kongruenz
befriedigt wird.
Aber wir können auf diesem Wege durch Vergleichung der
Koeffizienten von y und dessen Ableitungen in der Zerlegungsform
(11) auch allgemeinere Sätze herleiten. Habe z. B. die Differential-
gleichung
P = f.y'°' + f,y'°-"+... + f,y = 0,
in welcher
f,=(x-A"U. f,=(*-°An,
Fp, Fi, ...F^ nicht durch x—tx teilbar, und nicht alle x von Null
verschieden sind, mit einer irreduktibeln Differentialgleichung
W** Ordnung

Q-ToY^ + TiY^ ^+'" + TvY = 0