Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.

(A. 5) 19

(21)

Tr^'(üy'°'+ty'°""+'"+f,y)

d"

]n-v-l

^o^^(?oy^+?iy^+---+^y)+G-i'^n-,-i(?oy^+?iy^+---+?vy)

dx"

+ - - - + (^y ^ + ?iy ^ ^ + - - - + ?w),

so wird es für die folgenden Untersuchungen wesentlich darauf
ankommen, hinreichende, nur in den Koeffizienten cp^ ... cp^ aus-
gedrückte Bedingungen dafür aufzustellen, daß sich P mit in x
ganzen Koeffizienten durch Q und dessen Ableitungen ausdrücken
lasse. Sei a eine Lösung von %, so werden wegen der Teilbarkeit
der linken Seite der obigen Zerlegungsgleichung durch x—<x die
Koeffizienten der Ableitungen von y den Kongruenzen genügen:

(22)

Go<po = 0
Go [(n-Ti ?o+?i]+Gi ?o = 0
Go [(n-v)g + (n-v)^ <p( + (pg] + G^ [(n-v-1) (p^ + (p J + Gg (po = 0
Go[?r^+(R-^?r^+---]+Gi[?r*^
-1-1- Gn__v ?o = 0 mo d (x-a).
-!-öGn_,^^ = 0
Go + Gl + - - - + G^i + G._„ ^ 0

Nun folgt aus der zweiten dieser Kongruenzen, daß, wenn
(n—v)<pQ + <pi^Omod(x—a.) ist, Go = 0 sein wird, sodann aus der
dritten, daß, wenn(n—v—l)(pQ + (pi^0, G^ = 0 ist, usw., endlich, wenn
(pQ + (pi^0 ist, G^_^_i, also auch G^_^ = 0mod(x—a). Ist nun a
eine mehrfache Lösung von %, so verlangt das Bestehen all dieser
Inkongruenzen als notwendig und hinreichend, daß (p^0mod(x—a)
ist, ist jedoch a eine einfache Wurzel von %, so werden zwar die
Inkongruenzen befriedigt, also sämtliche G = 0mod(x—a) sein,
wenn ^ = 0, es können jedoch auch im letzteren Falle die Inkon-
gruenzen für <pi^0 bestehen.
Da nun für den Fall, daß a eine einfache Lösung von % ist,
die Kongruenz unpQ + cp^O mod(x—a) nicht für zwei verschiedene