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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0020
20 (A. 5)
L. KOENIGSBERGER:
ganze Zahlen nii und m^ bestehen kann, weil sich daraus K als
mehrfache Lösung von % ergeben würde, und die obigen Schlüsse
für alle linearen Faktoren von % gelten, so ergibt sich das nach-
folgende Resultat:
Hat % die Form
<Po - (x-x)*(x-ß)"'... (x-a) (x-b)...,
worin x, X, ...>1, und ist
<Pi = (x-a)P (x-b)°...^(x),
worin p,o, und <jj(x) keine der Lösungen <x, ß,...
besitzt, so wird sich P mit in x ganzen Koeffizien-
ten nach Q,Q', ^ zerlegen lassen; sind jedoch
p = o = ...=0, so die Kongruenzen
m<po + (pi nO mod (x—a), mod (x—h),...
— jedoch stets nur für e f % e 72 Wert von m — befrie-
digt sein, und in diesem Falle kann man nicht auf
eine Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizien-
ten nach Q,Q', ... schließen.
Gehört jedoch eine mehrfache Lösung von % auch der Funk-
tion <pi an, so daß keine der obigen Inkongruenzen befriedigt wird,
so folgt, wenn K mindestens eine dreifache Lösung von % ist, aus
den auf die zweite folgenden Kongruenzen (22), daß, wenn die
Inkongruenzen
(n—v)^ + (pa^0, (n—v—1)^ + %^0, - -- <Pi + <?2^0 mod (x—x)
befriedigt werden, wiederum alle G durch x—x teilbar sind, und
es wird somit wieder eine Zerlegung von P mit in x ganzen Ko-
effizienten möglich sein, wenn für alle dreifachen Lösungen von
(po, die auch Lösungen von ^ sein sollten, diese Lösungen mehr-
fache Lösungen von <pi sind, aber nicht % angehören, oder ein-
fache Lösungen von <pi, welche auch % besitzt, und in derselben
Weise können wir weiter schließen, wenn mehrfache Lösungen von
(Pi auch (p2 angehören, usw.
L. KOENIGSBERGER:
ganze Zahlen nii und m^ bestehen kann, weil sich daraus K als
mehrfache Lösung von % ergeben würde, und die obigen Schlüsse
für alle linearen Faktoren von % gelten, so ergibt sich das nach-
folgende Resultat:
Hat % die Form
<Po - (x-x)*(x-ß)"'... (x-a) (x-b)...,
worin x, X, ...>1, und ist
<Pi = (x-a)P (x-b)°...^(x),
worin p,o, und <jj(x) keine der Lösungen <x, ß,...
besitzt, so wird sich P mit in x ganzen Koeffizien-
ten nach Q,Q', ^ zerlegen lassen; sind jedoch
p = o = ...=0, so die Kongruenzen
m<po + (pi nO mod (x—a), mod (x—h),...
— jedoch stets nur für e f % e 72 Wert von m — befrie-
digt sein, und in diesem Falle kann man nicht auf
eine Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizien-
ten nach Q,Q', ... schließen.
Gehört jedoch eine mehrfache Lösung von % auch der Funk-
tion <pi an, so daß keine der obigen Inkongruenzen befriedigt wird,
so folgt, wenn K mindestens eine dreifache Lösung von % ist, aus
den auf die zweite folgenden Kongruenzen (22), daß, wenn die
Inkongruenzen
(n—v)^ + (pa^0, (n—v—1)^ + %^0, - -- <Pi + <?2^0 mod (x—x)
befriedigt werden, wiederum alle G durch x—x teilbar sind, und
es wird somit wieder eine Zerlegung von P mit in x ganzen Ko-
effizienten möglich sein, wenn für alle dreifachen Lösungen von
(po, die auch Lösungen von ^ sein sollten, diese Lösungen mehr-
fache Lösungen von <pi sind, aber nicht % angehören, oder ein-
fache Lösungen von <pi, welche auch % besitzt, und in derselben
Weise können wir weiter schließen, wenn mehrfache Lösungen von
(Pi auch (p2 angehören, usw.