Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EiSENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.

(A. 5) 21

Hinreichende Bedingungen für die Zerlegung von P nach Q
und dessen Ableitungen mit in x ganzen Koeffizienten sind also
dadurch gegeben, daß für alle Lösungen <x der Funktion % für
alle ganzen Zahlen k = i,2,3, ...n—v die Inkongruenzen bestehen
k(po + (pi^O niod (x—tx) .
Habe z. B. die Differentialgleichung vierter Ordnung
P = W"+fiY"+?2 y"+4 y + =o

mit der irreduktibeln Differentialgleichung
Q = ?oy"+?iy'+?2=o

- ein Integral gemein, so daß nach^dl) dieAdentische Beziehung
besteht
o cP // / d ,, ,
?o P=(?oy'+ + %y) + ^ ?iy.+ ^y)
+G2(?oy"+?iy'+<p2y),

so werden die aus der Vergleichung der Koeffizienten von y und
dessen Ableitungen sich ergebenden Kongruenzen (22) lauten:

Go ?o = 0
Go (2% + Pi) + Gi % = 0
Go (po + 2pi + pg) + Gi (po+pi) + Gg po ^ 0
Go (p^ + 2pg) + Gi (p^ + pg) + Gg Pi = 0
Go P2 +GiPg + Gg pg = 0

mod (x—tx) ,

und man findet leicht auf dem eben angegebenen Wege die hin-
reichenden, nur durch die Koeffizienten Po,Pi,P2 ausgedrückten
Bedingungen für die Zerlegung von P nach Q, Q', Q" mit in x gan-
zen Koeffizienten, wenn <x eine x-fache Wurzel von % und eine
X-fache von pi ist,