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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0029
Der EiSENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 29
Teilbarkeit aller Funktionen cpg, (pi, ...^ durch x—x nach sich
ziehen, wobei wir des Folgenden wegen bemerken, daß der letztere
Schluß darauf beruhte, daß die Exponenten der in den G ent-
haltenen Potenzen von x—x mit wachsendem Index dieser Funk-
tionen abnehmen und sämtlich kleiner als n—v+1 sind, oder noch
allgemeiner, daß der Exponent der in G^_^ enthaltenen Potenz
von (x—x) kleiner ist als die in den übrigen G enthaltenen Poten-
zen, und kleiner als n—v+1.
Wir finden somit, daß
eine EiSENSTEiNsche Differentialgleichung sich
nicht auf eine irreduktible Differentialgleichung
niederer Ordnung reduzieren läßt, für welche x eine
einfache Lösung von % ist, welche <?i nicht ange-
hört, wenn die Bedingung erfüllt ist, daß für keine
ganze Zahl k = l,2, ...n—1 die Kongruenz k(pQ + <pi=0,
oder, wenn <po = (x—x)^Q,(pi = <^i gesetzt wird, kAo+^ = 0
befriedigt wird.
Ist jedoch k(pQ + cpi = 0, so kann die Differentialgleichung re-
duktibel sein, wie das Beispiel zeigt
(x—x) v""+ (x—x)^y'"-t- (x—x) y"+ (x—x) (x—x+2) y'—2y
= [(x-a)y"+((x-x)^-(x-x)-1) y"+ (-(x-xf+2) y-2y]
+ [(x-x)y^G((x-x)^-(x-x)-l) y + (-(x-x)^ + 2) y-2y] ,
worin 1 - To + = (x—x)^ — (x—x) = 0 mod (x—x) ist.
Um für diesen Fall, daß eine der oben aufgestellten Inkon-
gruenzen nicht erfüllt wird, etwaige weitere Bedingungen für die
Möglichkeit der Reduzibilität aufzustellen, beachte man, daß, wenn
z. B. (n—v)(po + (pi = 0 ist, nicht auch zugleich die Kongruenz
(n—v—l)(pQ + (pi^0 erfüllt sein kann, weil dies gegen die Annahme
darauf führen würde, daß % die Lösung x mehrfach besitzt, und
daß somit aus den oben für fp,f^, lg,... aufgestellten Beziehungen
folgt, daß wieder Go = (x—x)"*^go, worin go^O, daß sich aber
jetzt Gi = (x—x^'^gi ergibt, worin sich für g^ allgemein nichts
weiter aussagen läßt; dann folgt aber unter der Annahme, daß z. B.
n—v = 2, also 2<pQ+(pi = 0 ist, aus der Beziehung für fg, weil nach
Teilbarkeit aller Funktionen cpg, (pi, ...^ durch x—x nach sich
ziehen, wobei wir des Folgenden wegen bemerken, daß der letztere
Schluß darauf beruhte, daß die Exponenten der in den G ent-
haltenen Potenzen von x—x mit wachsendem Index dieser Funk-
tionen abnehmen und sämtlich kleiner als n—v+1 sind, oder noch
allgemeiner, daß der Exponent der in G^_^ enthaltenen Potenz
von (x—x) kleiner ist als die in den übrigen G enthaltenen Poten-
zen, und kleiner als n—v+1.
Wir finden somit, daß
eine EiSENSTEiNsche Differentialgleichung sich
nicht auf eine irreduktible Differentialgleichung
niederer Ordnung reduzieren läßt, für welche x eine
einfache Lösung von % ist, welche <?i nicht ange-
hört, wenn die Bedingung erfüllt ist, daß für keine
ganze Zahl k = l,2, ...n—1 die Kongruenz k(pQ + <pi=0,
oder, wenn <po = (x—x)^Q,(pi = <^i gesetzt wird, kAo+^ = 0
befriedigt wird.
Ist jedoch k(pQ + cpi = 0, so kann die Differentialgleichung re-
duktibel sein, wie das Beispiel zeigt
(x—x) v""+ (x—x)^y'"-t- (x—x) y"+ (x—x) (x—x+2) y'—2y
= [(x-a)y"+((x-x)^-(x-x)-1) y"+ (-(x-xf+2) y-2y]
+ [(x-x)y^G((x-x)^-(x-x)-l) y + (-(x-x)^ + 2) y-2y] ,
worin 1 - To + = (x—x)^ — (x—x) = 0 mod (x—x) ist.
Um für diesen Fall, daß eine der oben aufgestellten Inkon-
gruenzen nicht erfüllt wird, etwaige weitere Bedingungen für die
Möglichkeit der Reduzibilität aufzustellen, beachte man, daß, wenn
z. B. (n—v)(po + (pi = 0 ist, nicht auch zugleich die Kongruenz
(n—v—l)(pQ + (pi^0 erfüllt sein kann, weil dies gegen die Annahme
darauf führen würde, daß % die Lösung x mehrfach besitzt, und
daß somit aus den oben für fp,f^, lg,... aufgestellten Beziehungen
folgt, daß wieder Go = (x—x)"*^go, worin go^O, daß sich aber
jetzt Gi = (x—x^'^gi ergibt, worin sich für g^ allgemein nichts
weiter aussagen läßt; dann folgt aber unter der Annahme, daß z. B.
n—v = 2, also 2<pQ+(pi = 0 ist, aus der Beziehung für fg, weil nach