Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.

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wenn der Exponent in G^_^ der kleinste der in all den Funktionen
GcGi, vorkommenden ist, der auf einer früheren Bemer-
kung basierende Schluß von der Unmöglichkeit der Reduzierbar-
keit wird gemacht werden können.
Es bleibt nunmehr für die Feststellung, wann eine EisENSTEiN-
sche Differentialgleichung irreduktibel und wann reduktibel ist,
nur noch der Fall 2) zu untersuchen, in welchem % die Lösung x
mehrfach besitzt, die zugleich auch eine Lösung des Koeffizienten
cpi ist.
Daß auch in diesem Falle eine Reduktion einer solchen Diffe-
rentialgleichung auf eine irreduktible Gleichung niederer Ordnung
unter gewissen Bedingungen möglich ist, geht zunächst aus dem
folgenden Beispiel hervor, in welchem P selbst nicht mit in x
ganzen Koeffizienten zerlegbar ist, und bei welchem hervorzuheben
ist, daß die Koeffizienten cpQ und ^ die Form haben (po = (x—x)*^o,
f (x-x)(x-x-^-)y "+(x-x)(3-(x-x)^ + ^-(x-x))y" ]
(x—x)
} +(x-K)y' + (5-2(x-K)2)yl
= ^ [(x - xf (x- x—y" + (x - x) y + (2 (x-xf -1) y]
-(x-x) [(x-x)^(x-x-^-)y" + (x-x)y+(2(x-x)^-l)y] .
Um nun für die Untersuchung des durch dieses Beispiel cha-
rakterisierten Falles von der Reduzierbarkeit einer FisENSTEix-
schen Differentialgleichung auf eine Differentialgleichung niederer
Ordnung neue Gesichtspunkte zu gewinnen, wollen wir zunächst
die Frage von der Reduktion einer solchen Differentialgleichung
iL" Ordnung auf eine Gleichung n—Ordnung erörtern.
Sei dem Falle 2) entsprechend
<Po = (x-x)^o, ?i = (x-x)*+^i,
worin x!>2, Z> —(x—l) ist, und bestehe nach (hl) für v = n —1 die
Zerlegungsform