Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

34 (A. 5)

L. KOENIGSBBRGER:

Es soll nun noch im folgenden die Reduktion einer EiSENSTEiN-
schen Differentialgleichung n^ Ordnung auf eine irreduktible Diffe-
rentialgleichung n—2^ Ordnung untersucht werden, also die Zer-
legungsform
?o(foy^+^y^+--- + ^y)
[?oy ?iy - -+<Pn-2 y]+^i j- [?o y ?iy - - +?n-sy]
+c-2 [?o y^++- - - + ?n-2 y],
in welcher, dem Fall 2) entsprechend, die den Funktionen fo, f^,...f^
gemeinsame, aber fp nur einfach angehörige Fösung eine mehr-
fache Lösung von % und eine einfache oder mehrfache Lösung
von (pi sein soll.
Sei demgemäß für x>2
?o = (x-K)^oi = (P2 = (x-a)^+!'-^,
worin ^g^50mod(x—x), X> —(x—l), g^ —x, so folgt zu-
nächst wieder, daß
(x-x)^^fo = Go(x-x)"^, oder Go = (x-x)^go, worin go^O ist;
ferner aus der Gleichung
(x-a)^ ^ fi = (x-x)^+^ go [2 (x-x)* ^ + 2x (x-x)^ ^ + (x-x)^
+ Gi (x-x)x
daß für k^0Gi = (x—x)^gi ist, worin gi^O, für X=—1 Gi die-
selbe Form hat, wenn die Inkongruenz 2x^o+^i^0 als Be-
dingung hinzutritt, und für X G — 2 Gi den Wert annimmt
Gi=^x—x)^^^"^"^gi, worin wieder gi^O, also in allen Fällen
Gi = (x—x)"gi, worin o<2x
ist; es enthält also stets Gi eine niedrigere Potenz von x—x als Go-
Ist jedoch für X = —1 2x^o+^i^O, so hat Gi wieder die Form
(x—x)"gi, worin o>2x + l und gi^O, enthält also eine gleiche
oder höhere Potenz von x—x als G^,.