Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 35

Endlich folgt aus der Identifizierung der Koeffizienten von ^
(x-x)3* ^ fg - (x-x)^+^ go [(x-x)* (x-x)^ ^+x (x-f ) (x-x)^
+ 2 (x-x)*+^ ^^ + 2 (x+X) (x-x)*+^* ^ + (x-x)^^ ^g]
+ (x-x)° gl [(x-x)" ^ + X (x-x)*-i ^ + (x-x)"+^ + Gg (x-x)" ,

und daher zunächst

I) für X^O, also o = 2x,
wenn g^-1 und (x-l)go + gi^O, Gg-(x-x)'^gg, worin gg^O,
wenn g = -2 und x^((x-f)go + gi) + go^EhO, Gg-(x-x)^gg
wenn [i.<—3, Gg = (x—x)^^^^^gg,
so daß für Xi>0 und beliebige Werte von g
Go = (x-x)^go, Gi = (x-x)^gi, Gg-(x-x)^ = ^g2
ist, worin gcg^gg^O sind; es enthält somit Cg niedrigere Poten-
zen von (x—x) als Gg und G^, und somit ist die Reduktion der
gegebenen Differentialgleichung unmöglich.
Bemerkt man aber, daß wegen



__^0 _ ^0 ^0
^ (x—x)^^^ x—X
-^(x-x)^fi
[2(x-x)2*+*-° + 2x(x-x)^-^
YO

(x—x)^*^ ° ^1 j

sich lür X^>0 also c = 2x gi= —2xgg ergibt, so daß
(x—l)go + gi = —(x+l)god^O stets befriedigt ist,
während die Inkongruenz

3*