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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0039
Der EisENsiEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.
(A. 5) 39
rentialgleichung n—2^ Ordnung ein Integral gemein
haben, in welcher
<Po= (x-K)"(x^2), (Pi = (x-x)^ <ti(x+ X>0), (p2= (x-a)^+!^ ^(x + [J.>0) ,
worin ^ ^ 0 m o d (x—<x), w e n n
1) X>0, g beliebig (g = —2 ausgeschlossen)
2) y>0, g = —2, ^g—x^x+l)^Q^0
3) X 1, g.i>—1, 2x^ + ^^0, x(x+l)^Q + (x+2)J,'o^ + ^^0
4) X=—1, ;j,=—2, 2x^+^^0, x(x+l)!j'Q+(x+2)^o^2=^0
5) X =—1, g<^—3, 2x^o+ ^i^0
6) X^-2, g = 2x,
7) k<—2, p.>2X oder [z<2X;
es wird also die Existenz einer Zerlegung —von den
Fällen X>0, g= —2 und X< —2, g. = 2X abgesehen — nur
möglich sein für X = —1, und zwar nur dann, wenn
die beschränkenden Inkongruenzen in die entspre-
chenden Kongruenzen übergehen.
Genau in derselben Weise können wir die Irreduktibilitäts-
bedingungen der EISENSTEIN sehen Differentialgleichung in bezug
auf eine Differentialgleichung beliebiger, aber bestimmter niede-
rer Ordnung aufstellen; es ist aber auch möglich, ganz allgemein
hinreichende Bedingungen für die Irreduktibilität in bezug auf
jede Differentialgleichung niederer Ordnung anzugeben.
Sei wieder angenommen, daß die EiSENSTEiNsche Differential-
gleichung n^ Ordnung
foy^ + fiy^ + --- + fny = o
mit einer linearen Differentialgleichung von beliebiger Ordnung v
ein Integral gemein habe, das nicht einer ebensolchen Differential-
gleichung noch niederer Ordnung genügt, so wird, wenn letztere
die Form hat
(A. 5) 39
rentialgleichung n—2^ Ordnung ein Integral gemein
haben, in welcher
<Po= (x-K)"(x^2), (Pi = (x-x)^ <ti(x+ X>0), (p2= (x-a)^+!^ ^(x + [J.>0) ,
worin ^ ^ 0 m o d (x—<x), w e n n
1) X>0, g beliebig (g = —2 ausgeschlossen)
2) y>0, g = —2, ^g—x^x+l)^Q^0
3) X 1, g.i>—1, 2x^ + ^^0, x(x+l)^Q + (x+2)J,'o^ + ^^0
4) X=—1, ;j,=—2, 2x^+^^0, x(x+l)!j'Q+(x+2)^o^2=^0
5) X =—1, g<^—3, 2x^o+ ^i^0
6) X^-2, g = 2x,
7) k<—2, p.>2X oder [z<2X;
es wird also die Existenz einer Zerlegung —von den
Fällen X>0, g= —2 und X< —2, g. = 2X abgesehen — nur
möglich sein für X = —1, und zwar nur dann, wenn
die beschränkenden Inkongruenzen in die entspre-
chenden Kongruenzen übergehen.
Genau in derselben Weise können wir die Irreduktibilitäts-
bedingungen der EISENSTEIN sehen Differentialgleichung in bezug
auf eine Differentialgleichung beliebiger, aber bestimmter niede-
rer Ordnung aufstellen; es ist aber auch möglich, ganz allgemein
hinreichende Bedingungen für die Irreduktibilität in bezug auf
jede Differentialgleichung niederer Ordnung anzugeben.
Sei wieder angenommen, daß die EiSENSTEiNsche Differential-
gleichung n^ Ordnung
foy^ + fiy^ + --- + fny = o
mit einer linearen Differentialgleichung von beliebiger Ordnung v
ein Integral gemein habe, das nicht einer ebensolchen Differential-
gleichung noch niederer Ordnung genügt, so wird, wenn letztere
die Form hat