Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Vorbemerkung. Wenn in dieser Arbeit von irgendwelchen
Zahlen (Variabein, Funktionen) die Rede ist, so sind ausschließlich
reeHe Zahlen gemeint.

§ 1-
Sind F(a;,i/) sowie die partielle Ableitung F^, (%,?/) in der Um-
gebung einer Stelle a;=a, ?/ = &, diese eingeschlossen, stetige Funk-
tionen; ist ferner
F(a, &) = 0, Fy(a, &)=j=0,
so definiert die Gleichung F(a;,?/) = 0 in der Umgebung von %=%
bekanntlich eine und nur eine stetige Funktion y von 2, die für
a; = a den Wert & annimmt.
Wenn dagegen Fy(a,<^) = 0 ist, scheinen Sätze von einiger All-
gemeinheit bis jetzt nicht aufgestellt zu sein. Man hat lediglich
den speziellen Fall untersucht, daß F(a;,y) sich nach Potenzen von
2 —a und & entwickeln läßt, oder daß wenigstens die TAYLOR-
sche Formel mit Restglied dritter, vierter, oder nach Redarf noch
höherer Ordnung anwendbar ist; es zeigt sich, daß es dann in der
Hauptsache nur auf die Glieder niederster Dimension ankommt.
Hierbei sind zwei verschiedene Methoden verfolgt worden. Rei
der ersten wird z/ —& = %) gesetzt; dadurch geht die Gleichung
F(2,?/) = 0 nach Unterdrückung eines Faktors (:r—a)", wo % die
niederste Dimension ist, über in eine Gleichung F(^U) = 0, auf
welche sich im allgemeinen der obige Satz anwenden läßt. Die
zweite Methode ist kürzlich von Herrn STÄCKEL entwickelt wor-
den^; sie benutzt den WEIERSTRASS sehen Vorbereitungssatz unter
Berücksichtigung von Realitätsverhältnissen.
Beide Methoden versagen, wenn F(i?,y) nicht von der ange-
gebenen speziellen Form ist. Im folgenden sollen einige allgemei-
nere Resultate hergeleitet werden. Dabei dürfen wir ohne Be-
schränkung der Allgemeinheit für die Stelle a, & einfach den Null-
punkt wählen.
1 P. STÄCKEL, iVeMe ßeüräge zur ^äche/ntAeorie, diese Sitzungsberichte,
Jahrgang 1916, 1. Abhandlung.

1*