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https://doi.org/10.11588/diglit.34891#0010
10 (A. 6)
0.PERRON:
U72Fr die^e72 ForuM^efzH72ge72 zwei po^hmeZaAF72 p,u deru7-h
du/? zu /e&^IVer^ 32 7T2F7-cu/F [32—u]<p AöcA^e^ 72 kFerF 2/
0 &7?i 772Frcud )y—7] Au e32Ghere72, /ü/' die F(32,2/) = 0 Gü
Wir haben den Satz vorsichtig formuliert. Es wäre falsch zu
sagen: ,,Durch die Gleichung F(32,2/) = 0 werden höchstens 71 Funk-
tionen 2/ definiert." Im Gegenteil können es sehr wohl mehr als
Ti sein, selbst wenn man nur stetige Funktionen zuläßt. Beispiels-
weise definiert die Gleichung
nicht nur zwei, sondern unendlich viele stetige Funktionen, die
für a: = 0 verschwinden, u. a. die Funktionen
2/1 = 323272
?/2 = -3^m —, 2/3 -
3; 3772 —
%
2/4="
. 1
32 3272—: .
3:
Zum Beweis des Satzes übergehend bemerken wir, daß nach
den Voraussetzungen, wenn p und o genügend kleine positive Zah-
len sind, im Bereich
[32—u] Ap, I//—7} Au
die 7W Abteilung F^(32,2/) 4 0 ist. Wenn es nun zu einem gewissen
Wert 32 des Intervalls [32—u) Ap mehr als 72 Werte 2/ in dem Inter-
vall [2/ —7 [Au gäbe, für die F(32,2/) = 0 ist, so müßte nach dem
Satz von RoLLE die Ableitung F'(32,2/) noch mindestens an 71 Stellen,
die zweite Abteilung mindestens an 72 —1 Stellen, und schließlich
die 71^ Ableitung F^(32,2/) mindestens an einer Stelle dieses Inter-
valls verschwinden. Das widerspricht aber dem Vorigen, womit
Satz 2 bewiesen ist.
Bei unseren weiteren Untersuchungen behalten wir die Vor-
aussetzungen von Satz 2 bei und nehmen der formalen Einfach-
heit halber wieder u=7 = 0 an. Nunmehr setzen wir
(12.) F(^,0) + yE'(^,0) + ...+A—F'"-"(^,O)+AEM(O,O)=0(^y).
^ ^ (72—1)! 7b
Die Gleichung 0(32,2/) = 0 ist in 2/ algebraisch vom 7V" Grad; sie
0.PERRON:
U72Fr die^e72 ForuM^efzH72ge72 zwei po^hmeZaAF72 p,u deru7-h
du/? zu /e&^IVer^ 32 7T2F7-cu/F [32—u]<p AöcA^e^ 72 kFerF 2/
0 &7?i 772Frcud )y—7] Au e32Ghere72, /ü/' die F(32,2/) = 0 Gü
Wir haben den Satz vorsichtig formuliert. Es wäre falsch zu
sagen: ,,Durch die Gleichung F(32,2/) = 0 werden höchstens 71 Funk-
tionen 2/ definiert." Im Gegenteil können es sehr wohl mehr als
Ti sein, selbst wenn man nur stetige Funktionen zuläßt. Beispiels-
weise definiert die Gleichung
nicht nur zwei, sondern unendlich viele stetige Funktionen, die
für a: = 0 verschwinden, u. a. die Funktionen
2/1 = 323272
?/2 = -3^m —, 2/3 -
3; 3772 —
%
2/4="
. 1
32 3272—: .
3:
Zum Beweis des Satzes übergehend bemerken wir, daß nach
den Voraussetzungen, wenn p und o genügend kleine positive Zah-
len sind, im Bereich
[32—u] Ap, I//—7} Au
die 7W Abteilung F^(32,2/) 4 0 ist. Wenn es nun zu einem gewissen
Wert 32 des Intervalls [32—u) Ap mehr als 72 Werte 2/ in dem Inter-
vall [2/ —7 [Au gäbe, für die F(32,2/) = 0 ist, so müßte nach dem
Satz von RoLLE die Ableitung F'(32,2/) noch mindestens an 71 Stellen,
die zweite Abteilung mindestens an 72 —1 Stellen, und schließlich
die 71^ Ableitung F^(32,2/) mindestens an einer Stelle dieses Inter-
valls verschwinden. Das widerspricht aber dem Vorigen, womit
Satz 2 bewiesen ist.
Bei unseren weiteren Untersuchungen behalten wir die Vor-
aussetzungen von Satz 2 bei und nehmen der formalen Einfach-
heit halber wieder u=7 = 0 an. Nunmehr setzen wir
(12.) F(^,0) + yE'(^,0) + ...+A—F'"-"(^,O)+AEM(O,O)=0(^y).
^ ^ (72—1)! 7b
Die Gleichung 0(32,2/) = 0 ist in 2/ algebraisch vom 7V" Grad; sie