Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 17

ein, wo g eine noch näher zu bestimmende positive Zahl kleiner
als 1 bedeutet, so wird der dortige Klammerausdruck und ebenso
der in (28.) absolut beliebig klein, etwa <s, wenn nur )tr] und
folglich auch [77] klein genug ist, und es ergibt sich:

F(.r,77 + g77) + g77(h'(3?,^) ] ^y ] 77^"(a:,??) ]

77! 77!
SI-C + -.+-C + —^.1,1
2.

^(g^+2^).)7?r.
Nun wählen wir g und s so klein, daß

(31.) g3C + 2"s< —
ist. Dann folgt aus dem Vorigen mit Rücksicht auf (29.):
(32.) ] F(j?,77 VgT?) + g770'(2,77) I < —- [ 77 ]" ^ — ] 77 - 0'(tr,77) I .
^ 4 4
Jetzt fassen wir zunächst nur solche Werte 2 ins Auge, für
welche 77 =)=0 ist. Nach (29.) ist dann auch 0'(3,77) TO, und aus
(32.) schließt man, daß F(tr,77 + g?7) gleichfalls von Null verschieden
ist und das Vorzeichen von + 770'(37,77) hat. Die beiden Funktions-
werte
F(3?,77-g77), F(%,77+g77)

haben also entgegengesetztes Vorzeichen, und folglich liegt in dem
Intervall
(33.) ?7-^[??l<2/^77 + gb!
we7Vg.^e7M ezFe Lösung 7/ der Gleichung F(.r,7/) = 0. Man sieht aber
leicht, daß F(37,7/) in diesem Intervall monoton ist ohne Konstanz-
stellen, und daher nur eme Lösung 7/ vorhanden sein kann. In
der Tat folgt aus (28.), wenn 7/ dem Intervall (33.) angehört,

Sitzungsberichte^ Heidelb. Akad.,math.-naturw. Kl. A. 1916. 6.Abh.

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