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https://doi.org/10.11588/diglit.34891#0019
Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.
(A. 6) 19
U/iFr die^ea Foraa^e^zangen g^^ e^, wena g eine AhireicAe/zd
A/eiaepo^dice ZaA^ &edeaM, ia der Ua?ge^aag der &ede a; = a eiae
tz^d aar eine deaz da^ercad
?^-g ]??-^] ^ p + g
aageAcueade Lä^aag der CFicAaag F(.T,g) = 0. Uad zwar ^ 7/ eiae
3^eUge FaaAFoa coa a;.
§ 5.
Wir betrachten jetzt einige Beispiele und wollen insbesondere
zeigen, daß die gewöhnlich behandelten Fälle (vergl. § 1) in unseren
allgemeineren Untersuchungen enthalten sind.
I. Sei
0, co
^(Ud) = Z %7,^V
(i + A ^ 2; %Q 2 =t 0)
Hier ist
F(a;,0) = f]a^oU, F'(a;,0)-^]a^iF, F^(0,0)-2ao2-
7—2 7=1
Daher
1A *r
U'(0,0)F(7r,0)- -—F'(a:,0)^=Y(4ao 2^2,o*(^^)^i,i)^ + ^3^ + ^4^+'
Wenn demnach
4%o,2%2,o-ai,i >0
ist, so kann man die positive Zahl v so wählen, daß auch
^^0,2^2,0**(^FT)a^ >0
wird, und für hinreichend kleine Werte von [%] liegt dann der
erste Fall von Satz 1 vor, also ist keine Lösung vorhanden. Wenn
dagegen
4w,2"2,o-^i,i < 0
2*
(A. 6) 19
U/iFr die^ea Foraa^e^zangen g^^ e^, wena g eine AhireicAe/zd
A/eiaepo^dice ZaA^ &edeaM, ia der Ua?ge^aag der &ede a; = a eiae
tz^d aar eine deaz da^ercad
?^-g ]??-^] ^ p + g
aageAcueade Lä^aag der CFicAaag F(.T,g) = 0. Uad zwar ^ 7/ eiae
3^eUge FaaAFoa coa a;.
§ 5.
Wir betrachten jetzt einige Beispiele und wollen insbesondere
zeigen, daß die gewöhnlich behandelten Fälle (vergl. § 1) in unseren
allgemeineren Untersuchungen enthalten sind.
I. Sei
0, co
^(Ud) = Z %7,^V
(i + A ^ 2; %Q 2 =t 0)
Hier ist
F(a;,0) = f]a^oU, F'(a;,0)-^]a^iF, F^(0,0)-2ao2-
7—2 7=1
Daher
1A *r
U'(0,0)F(7r,0)- -—F'(a:,0)^=Y(4ao 2^2,o*(^^)^i,i)^ + ^3^ + ^4^+'
Wenn demnach
4%o,2%2,o-ai,i >0
ist, so kann man die positive Zahl v so wählen, daß auch
^^0,2^2,0**(^FT)a^ >0
wird, und für hinreichend kleine Werte von [%] liegt dann der
erste Fall von Satz 1 vor, also ist keine Lösung vorhanden. Wenn
dagegen
4w,2"2,o-^i,i < 0
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