Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 21

Wenn daher

%o,2 (%3,0 + ^2,1 + ^1,2 A + ^0, 3 ^) > 0 ?
so hegt für positive hinreichend kleine Werte von 2 der erste Fall
von Satz 1 vor, für negative dagegen der zweite Fall. Also sind
für negative 2 zwei Lösungen vorhanden, für positive aber nicht.
Umgekehrt verhält sich die Sache, wenn
A),2^3,0 ^2,1 ^-^"^1,2^ +%o,3^)<'0
ist. Man sieht leicht, daß die Kurve mit der Gleichung F(ü:,?/) = 0
in diesen b^den Fällen eine Spitze erster Art hat.
Endlich betrachten wir auch den Fall
%3,0 + ^ 2 ^ -t %o, 3 ^ = 0

Wenn dann
^^0,2(^4,0"^^3,l^"t^2,2^ *t^l,3^ *ü^0,4^") "2(^2,l*^^^l,2^A3UQgZ) >0
ist, so wird für kleine positive Werte von v

T
G"(0,0)G(3:,0)-^ G^,0f>0 ,
also ist keine Lösung vorhanden. Wenn dagegen
^^0,2(^4,0*t ^3,1 ^-^^2,2^* +(2Q ^/i.) *2 (ü2 ^ + 2ü^ 2^"t3uQ g^,) <0
ist, so wird

U"(0,0) U(^,0)

1-^

C(^,0)^< 0 ,

sodaß jetzt zwei Lösungen vorhanden sind, sowohl für positive
als für negative (hinreichend kleine) Werte von Die Kurve
F(2,?/);=0 hat eine Selbstberührung.