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https://doi.org/10.11588/diglit.36399#0006
6 (A. 15)
PAUL STÄCKEL:
und p^^ liegenden Primzahlen; denn eine zusammengesetzte
Zahl kleiner als p^ hat mindestens einen Primteiler, der kleiner
als p,_^ ist. Schon diese Erscheinung würde es rechtfertigen, die
hei dem Verfahren der Siebung entstehenden Zahlenfolgen genauer
zu erörtern. Es kommt hinzu, daß das «Sieben^ in neueren Arbei-
ten über den GoLDBAcnsehen Satz eine Rolle spielt und, wie sich
herausstcllen wird, eine solche Untersuchung es ermöglicht, in die
Lehre von den Darstellungen der geraden Zahlen als Summen
oder Differenzen von ungeraden Primzahlen tiefer einzudringen.
Jeder ungeraden Zahl 1, 3, 5, ... mögen aus der Reihe der
r ersten ungeraden Primzahlen 3,5, 7, El, ...,p, diejenigen zuge-
ordnet werden, durch die sie teilbar ist. Die Folge der Tciler-
scharen hat Lücken, denn bei den ungeraden Zahlen, die zu dem
Produkt der ersten r ungeraden Primzahlen
(1) R, - 3 - 5 - 7 - - - p,
teilerfremd sind, fällt die Teilerschar weg. Die ungeraden Zahlen,
bei denen solche Lücken auftreten, sollen die Lückenzahlen
7-ter Stufe genannt werden. Es sind die Zahlen, die bei dem
Y< rfahren des ERATOSTHENES stehengeblieben sind, nachdem man
der Reihe nach mit 3, 5, 7, ...,p, gesiebt hat; nur ist noch die
Zahl 1 hinzuzunehmen, die der griechische Geometer ausgeschlossen
hatte, weil sie keine Primzahl sei.
Um alle Lückenzahlen ?*-ter Stufe zu ermitteln, genügt es,
den Bereich der Zahlen von 1 bis 2P,. zu betrachten; bedeutet
nämlich zp emc Lückenzahl dieses Bereichs, so werden durch die
arithmetische Reihe 2B^p + zp lauter Lückenzahlen r-ter Stufe
dargestebt, und ist umgekehrt eine Lückenzahl r-ter Stufe größer
als 2P, gegeben, so ist der Rest bei der Division durch 2L7 eine
Lückenzahl r-ter Stufe, die dem Bereich der Zahlen von 1 bis 27^
angehört. Man erkennt jetzt, warum die Zahl 1 zu den Lücken-
zahlen hinzugenommen wurde.
Der Bereich der Zahlen von 1 bis 2P,, möge der Haupt -
bereich r-ter Stufe heißen. Die Anzahl der Lückenzahlen,
die dem Hauptbereich an gehören, ergibt sich leicht durch den
Schluß von auf Weil jede Lückenzahl (r+l)-ter Stufe auch
eine solche r-ter Stufe ist, so sind alle dem Hauptbereich (r + i)-ter
Stufe angehörenden Lückenzahlen (r+l)-ter Stufe enthalten unter
den Zahlen 2T\. p + 7p (77 = 0,1,..., p,_^ — 1), wo zp die Lücken-
PAUL STÄCKEL:
und p^^ liegenden Primzahlen; denn eine zusammengesetzte
Zahl kleiner als p^ hat mindestens einen Primteiler, der kleiner
als p,_^ ist. Schon diese Erscheinung würde es rechtfertigen, die
hei dem Verfahren der Siebung entstehenden Zahlenfolgen genauer
zu erörtern. Es kommt hinzu, daß das «Sieben^ in neueren Arbei-
ten über den GoLDBAcnsehen Satz eine Rolle spielt und, wie sich
herausstcllen wird, eine solche Untersuchung es ermöglicht, in die
Lehre von den Darstellungen der geraden Zahlen als Summen
oder Differenzen von ungeraden Primzahlen tiefer einzudringen.
Jeder ungeraden Zahl 1, 3, 5, ... mögen aus der Reihe der
r ersten ungeraden Primzahlen 3,5, 7, El, ...,p, diejenigen zuge-
ordnet werden, durch die sie teilbar ist. Die Folge der Tciler-
scharen hat Lücken, denn bei den ungeraden Zahlen, die zu dem
Produkt der ersten r ungeraden Primzahlen
(1) R, - 3 - 5 - 7 - - - p,
teilerfremd sind, fällt die Teilerschar weg. Die ungeraden Zahlen,
bei denen solche Lücken auftreten, sollen die Lückenzahlen
7-ter Stufe genannt werden. Es sind die Zahlen, die bei dem
Y< rfahren des ERATOSTHENES stehengeblieben sind, nachdem man
der Reihe nach mit 3, 5, 7, ...,p, gesiebt hat; nur ist noch die
Zahl 1 hinzuzunehmen, die der griechische Geometer ausgeschlossen
hatte, weil sie keine Primzahl sei.
Um alle Lückenzahlen ?*-ter Stufe zu ermitteln, genügt es,
den Bereich der Zahlen von 1 bis 2P,. zu betrachten; bedeutet
nämlich zp emc Lückenzahl dieses Bereichs, so werden durch die
arithmetische Reihe 2B^p + zp lauter Lückenzahlen r-ter Stufe
dargestebt, und ist umgekehrt eine Lückenzahl r-ter Stufe größer
als 2P, gegeben, so ist der Rest bei der Division durch 2L7 eine
Lückenzahl r-ter Stufe, die dem Bereich der Zahlen von 1 bis 27^
angehört. Man erkennt jetzt, warum die Zahl 1 zu den Lücken-
zahlen hinzugenommen wurde.
Der Bereich der Zahlen von 1 bis 2P,, möge der Haupt -
bereich r-ter Stufe heißen. Die Anzahl der Lückenzahlen,
die dem Hauptbereich an gehören, ergibt sich leicht durch den
Schluß von auf Weil jede Lückenzahl (r+l)-ter Stufe auch
eine solche r-ter Stufe ist, so sind alle dem Hauptbereich (r + i)-ter
Stufe angehörenden Lückenzahlen (r+l)-ter Stufe enthalten unter
den Zahlen 2T\. p + 7p (77 = 0,1,..., p,_^ — 1), wo zp die Lücken-