Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

38 (A.15)

PAUL STÄCKEL:

WEiNREiCH hat die Berechnung des langsam konvergierenden
Produktes bis zu p„ = 1499 durchgefühlt. Die Abschätzung der
Genauigkeit läßt sich in ähnlicher Weise durchführen, wie es für
x geschehen ist (Dnr.^eMimg, S. 18—20); man findet, daß die dritte
Dezimalstelle gesichert ist. Schließlich kommt
(62) 9K(^(6b)) - 2,519 ,
sodaß der Mittelwert von N^(6b) ungefähr um eine Einheit größer
ist als der Mittelwert von 6* (2 7?) .

§ 7
Die Zwillingsdarstelluiigen der durch 6 teilbaren Zahlen
im Bebiet der Primzahlen
Während im Gebiet der Lückenzahlen alle Zwillingspaare von
der Form 672 —1, 67?+ 1 sind, gibt es im Gebiet der Primzahlen
noch die Nebenzwillinge 1,3 und 3,5. Dies hat zur Folge, daß
die geraden Zahlen der Formen 677 + 2 und 677 + 4 (abgesehen von
2, 4 und 8) dann und nur dann eine (doppelt zählende) Zwillings-
darstellung gestatten, wenn zufällig 677—1, 677 + I ein Primzahl-
zwilling ist (vgl.DH7^fe/hi77g, S.30). Die Zahl 2 gestattet keine solche
Darstellung, die Zahl 4 nur die einfach zählende 4 = 1 + 3 = 3 + 1,
für die Zahl 8 die einfach zählende 8 = 3 + 5 = 5+3. Die geraden
Zahlen der Formen 677 + 2 und 677 + 4 sind damit erledigt, und im
folgenden brauchen nur die durch 6 teilbaren Zahlen betrachtet
zu werden. Bei ihnen besitzt nur die Zahl 6 eine Nebendarstel-
lung, nämlich die doppelt zählende 6 = 1+5 = 3+3.
Das in § 3 dargelegte t'bertragungsprinzip fuhrt zu einem
Näherungsausdruck für die Anzahl (3^ (677^ der Arten, auf die
sich die Zahl 677^ mittels zweier Primzahlzwillinge als Summe dar
stellen läßt, sodaß also
= (6+-1) + (6i'2 + l) = (6i'i + l) + (6?'2-l)
wird, unter 6^ — 1, 61^ +1 und 67^ — 1, 67^+ 1 Primzahlzwillinge
verstanden. Man erhält, wie ich bereits 1916 angegeben hatte