Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 9

immer die beiden Zahlen 2P, — 1. Im vorliegenden Falle ist
9699689 = 53-183103 und 9699691 = 347-27953. Mithin sind
für r = 7 sogar die 45 aufeinanderfolgenden Zahlen von 9699668
bis 9699 712 zusammengesetzt. Das ist freilich nichts Besonderes,
denn unter den Zahlen bis 100000 finden sich schon einige Folgen
von 45 und mehr zusammgesetzten Zahlen; als Beispiel seien die
49 Zahlen zwischen 79699 und 79 759 genannt. Ferner sind nach
GLAisHEiF die 151 Zahlen zwischen 8421251 und 8421403 zu-
sammengesetzt. Es kann übrigens auch eintreten, daß die beiden
Zahlen 2P,.— 1 Primzahlen sind; so sind für ? ^4 die beiden Zahlen
2 311 und 2309 Primzahlen.
Bei manchen Untersuchungen ist es vorteilhaft, negative
Lückenzahlen zuzulassen und die Pj4 Lückenzahlen r-ter Stufe
zugrunde zu legen, die dem Bereich der Zahlen von —P^ bis +P,
angehören. Dann werden sämtliche positive und negative Lücken-
zahlen r-ter Stufe durch Pj,^ arithmetische Reihen 2P,.y + z/ dar-
gestellt; die gP^ positiven ungeraden Zahlen z/ hegen zwischen
1 und P^. Die Zahl Null erscheint jetzt als ein Symmetrie-
zentrum der Lückenzahlen, insofern jeder Lückenzahi in der
Entfernung zy hinter der Null eine solche Zahl in derselben Ent-
fernung vor der Null entspricht. In demselben Sinne lassen sich
auch die Vielfachen von 2P,. als Symmetriezentren auffassen.
Auch die Zahl P,, die Mitte des Hauptbereiches,
bildet ein Symmetrie Zentrum, denn mit P, —2 a ist P^ + 2a
eine Lückenzahl r-ter Stufe, weil die Summe beider Zahlen gleich
2P, ist und beide gleichzeitig teilerfremd oder nicht teilerfremd
zu 2P,. sind. Im besonderen sind die Zahlen P, + 2" (4 = 1, 2,3,...)
zu 2P, teilerfremd; folglich hat man in der Mitte des Hauptab-
schnittes die 6 unmittelbar aufeinanderfolgenden Lückenzahlen
P,-8, P.-4, P,-2, P,. + 2, P, + 4, P, + 8;
die Zahlen P,.-t-6 sind augenscheinlich keine Lückenzahlen.
Die umstehende Tafel 1 soll zur Erläuterung der vorhergehen-
den Betrachtungen dienen. Sie bringt für die ersten vier Stufen
die Anfänge der Lückenzahlen, und zwar für r = 2 und r = 3 die
Hauptabschnitte, für r = 4, wo die Anzahl der Lückenzahlen des
Hauptabschnittes bereits auf 480 steigt, den halben Hauptab-
^ J. W. L. GLAisnER, On long successions of composite numbers, Mess-
enger of math. (2) 7 (1878), 8. 171.