Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 11

schnitt. Die zwischen den Lückenzahlen befindlichen, mit kleineren
Lettern gedruckten Differenzen werden sich später als nützlich
erweisen.

Die Darstellung der geraden Zahlen
als Summen von zwei Lückenzahlen r-ter Stufe
Die folgenden Untersuchungen bewegen sich, wie von vorn-
herein festgestellt werden soll, durchaus im Gebiet der positiven
ganzen Zahlen mit Einschluß der Null, und nur in diesem Sinne
soll von der Darstellung einer geraden Zahl 2/?, als Summe von
zwei Lückenzahlen r-ter Stufe gesprochen werden.
Alan setze 2 u = 2 P,, 3: + 2 n,., wo 2u, dem Hauptbereich an-
gehüre. Um Ausnahmefälle zu vermeiden, deren Erörterung für
die vorliegenden Zwecke überflüssig wäre, möge 2 mindestens
gleich 1 sein. Die beiden Lückcnzahlen, deren Summe 2?z ergibt,
sollen in der Form 2 P,. y + z^, 2P, z + zu,. angenommen werden, wo
r+ zu, dem Hauptabschnitt entnommen sind. Aus der Gleichung
(3) 2 P,. 3; + 2 u,. = 2 P^ y + z^ + 2 P,. c + zo^
folgt zunächst, daß z^ + w,. bis auf einAhelfaches von 2P,, mit 2%,
übereinstimmt, und zwar ist z+ + w, entweder gleich 2u, oder
gleich 2u,+ 2P,,. Je nachdem die erste oder die zweite Gleichung
besteht, sind weiter z/ und z so zu wählen, daß entweder y+z = 3;
oder y+z = 3i—1 wird; wir fassen 3? und 3?—1 in den Ausdruck 3?—e
zusammen.
Die Anzahl der Wertepaare — die Paare z<,,,zn, und w,.,zj,
als verschieden angesehen, bei denen z^ von w, verschieden ist —,
für die z+ + z^ l)is auf ein AHelfaches Amn 2P,. mit 2u, überein-
stimmt, soll das Gewicht r-ter Stufe der Zahlenklasse
2P^a? + 2zz^ genannt und mit g^(2z+) bezeichnet werden. Um Miß-
verständnisse zu verhüten, sei hervorgehoben, daß die Gewichte
nicht etwa die Anzahl der Darstellungen von 2 v,. als Summe von
zwei Lückenzahlen r-ter Stufe bedeuten. Ist zum Beispiel die
Zahl 2 gegeben, so gestattet sie auf jeder Stufe nur eine Dar-
stellung als Snmme von zwei Lückenzahlen, nämlich 2 = 1 + 1.
Dagegen ist auf der zweiten Stufe ^(2) = 3, denn man hat noch
13 + 19 = 19 + 13 = 32; damit sind die Paare z'g, Wg erschöpft, deren