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https://doi.org/10.11588/diglit.36399#0012
12 (A. 15)
PAUL STÄCKEL:
Summe bis auf ein Vielfaches von 2Pg = 30 mit 2 übereinstimmt.
Alan könnte aber ^(2) als die Anzahl der Darstellungen bezeich-
nen, bei denen man 2 oder 32 als Summe erhält, und allgemein
ist ^(2n,.) die Anzahl der Darstellungen von 2n,, und 2:^ + 2P^
als Summen von Lückenzahlen r-ter Stufe.
Zur Ermittelung der Gewichte gelangt man am schnellsten
durch den Schluß von r auf r+1. Es sei 2n,,_^ eine gerade Zahl
des Hauptbereichs (r + l)-ter Stufe, und bedeute die
Anzahl der Paare von Lückenzahlen r^, z^i des Hauptab-
schnitts (r+l)-ter Stufe, deren Summe mit 2u,.+i bis auf ein Viel-
faches von 2P^^ überein stimmt. Man setze 2n^^ = 2PW + 2M,,
z^^ = 2P,. p + zp, w^^^2P,W + w? wo 2n,.,tp,w, dem Hauptbereich
r-ter Stufe angehören und die Zahlen Gp, 4 der Reihe 0,1, ...,p,._^—1
zu entnehmen sind. Alsdann sind zp, zep Lückenzahlen r-ter Stufe,
deren Summe bis auf ein Vielfaches von 2P^. mit 2?r, überein-
stimmt. Mithin gibt es .cp(2ul Paare zp, zgp, die man nehmen darf.
Je nachdem zp+zep = 2n,, oder =2u^+2P,, ist, muß p + 4 mit ^ oder
1 bis auf ein Vielfaches von p,._^ übereinstimmen. Für 77 hat
man die Zahlen der Reihe 0,1, ...,p^^ — l zu setzen, ausgenommen
die Zahl %, für die 2P^77Q + zp durch p,.^ teilbar wird, und die
Zahl für die 2P,.(p —e —pj + zep den Primteiler erhält. Jetzt
sind zwei Fälle zu unterscheiden.
I. Es kann sich ereignen, daß % = % ist. Dann hat mit
rp_^,ap+i auch 2?p,_^ den Primteiler p^-,. Ist aber umgekehrt 2u,.+i
durch /p^ teilbar, so wird mit zp+i auch Kp_^ dadurch teilbar.
Demnach tritt der Fall I dann und nur dann ein, wenn 2u,.^_^ den
Primteiler p^ besitzt. Von den p,_^ Summen p + J ist dann nur
eine zu verwerfen, und aus jeder der ^(2u^ Darstellungen r-ter
Stufe von 2u^ entspringen /p+i —1 Darstellungen (r+l)-ter Stufe
von 2u,._^. Wenn also der eine Wert von G für den 2u,.^ bei ge-
gebenem u, durch p,.^i teilbar ist, mit G bezeichnet wird, so ist
(4) ^+1 (2 (2 PW' + 2 u,) = ^ (2 u,) - (p,+i -1) .
II. Ist ^ von verschieden, so sind die beiden Summen zu
verwerfen, bei denen 77 gleich pp oder p^ ist. Mithin liefert jede
Darstellung r-ter Stufe von 2zz, nur p^—2 Darstellungen von
und man hat, wenn 2n,_^ nicht durch p,.^ teilbar ist, die
Gleichung
(5) G.+i(2?4+i) = ^+i(2PW + 2n,) = g,(2u,) - (p,+i-2) .
PAUL STÄCKEL:
Summe bis auf ein Vielfaches von 2Pg = 30 mit 2 übereinstimmt.
Alan könnte aber ^(2) als die Anzahl der Darstellungen bezeich-
nen, bei denen man 2 oder 32 als Summe erhält, und allgemein
ist ^(2n,.) die Anzahl der Darstellungen von 2n,, und 2:^ + 2P^
als Summen von Lückenzahlen r-ter Stufe.
Zur Ermittelung der Gewichte gelangt man am schnellsten
durch den Schluß von r auf r+1. Es sei 2n,,_^ eine gerade Zahl
des Hauptbereichs (r + l)-ter Stufe, und bedeute die
Anzahl der Paare von Lückenzahlen r^, z^i des Hauptab-
schnitts (r+l)-ter Stufe, deren Summe mit 2u,.+i bis auf ein Viel-
faches von 2P^^ überein stimmt. Man setze 2n^^ = 2PW + 2M,,
z^^ = 2P,. p + zp, w^^^2P,W + w? wo 2n,.,tp,w, dem Hauptbereich
r-ter Stufe angehören und die Zahlen Gp, 4 der Reihe 0,1, ...,p,._^—1
zu entnehmen sind. Alsdann sind zp, zep Lückenzahlen r-ter Stufe,
deren Summe bis auf ein Vielfaches von 2P^. mit 2?r, überein-
stimmt. Mithin gibt es .cp(2ul Paare zp, zgp, die man nehmen darf.
Je nachdem zp+zep = 2n,, oder =2u^+2P,, ist, muß p + 4 mit ^ oder
1 bis auf ein Vielfaches von p,._^ übereinstimmen. Für 77 hat
man die Zahlen der Reihe 0,1, ...,p^^ — l zu setzen, ausgenommen
die Zahl %, für die 2P^77Q + zp durch p,.^ teilbar wird, und die
Zahl für die 2P,.(p —e —pj + zep den Primteiler erhält. Jetzt
sind zwei Fälle zu unterscheiden.
I. Es kann sich ereignen, daß % = % ist. Dann hat mit
rp_^,ap+i auch 2?p,_^ den Primteiler p^-,. Ist aber umgekehrt 2u,.+i
durch /p^ teilbar, so wird mit zp+i auch Kp_^ dadurch teilbar.
Demnach tritt der Fall I dann und nur dann ein, wenn 2u,.^_^ den
Primteiler p^ besitzt. Von den p,_^ Summen p + J ist dann nur
eine zu verwerfen, und aus jeder der ^(2u^ Darstellungen r-ter
Stufe von 2u^ entspringen /p+i —1 Darstellungen (r+l)-ter Stufe
von 2u,._^. Wenn also der eine Wert von G für den 2u,.^ bei ge-
gebenem u, durch p,.^i teilbar ist, mit G bezeichnet wird, so ist
(4) ^+1 (2 (2 PW' + 2 u,) = ^ (2 u,) - (p,+i -1) .
II. Ist ^ von verschieden, so sind die beiden Summen zu
verwerfen, bei denen 77 gleich pp oder p^ ist. Mithin liefert jede
Darstellung r-ter Stufe von 2zz, nur p^—2 Darstellungen von
und man hat, wenn 2n,_^ nicht durch p,.^ teilbar ist, die
Gleichung
(5) G.+i(2?4+i) = ^+i(2PW + 2n,) = g,(2u,) - (p,+i-2) .