Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A. 15)

PAUL STACK EL:

Ein Beispiel wird willkommen sein. Es handle sich um die
Darstellungen zweiter Stufe für die Zahl 92 = 30-3 + 2. Man hat
ga(2) = 3; die 3 Paare z^, sind 1,1; 13,19; 19,13. Beim ersten
Paar wird 3=y+z, sodaß man vier Darstellungen erhält: 1 + 91;
31 + 61; 61 + 31; 91 + 1. Beim zweiten Paar ist dagegen 2 = y+c,
sodaß man drei Darstellungen erhält: 13 + 79; 43 + 49; 73 + 19.
Beim dritten Paar ist wieder 2=y+z, und man findet drei Dar-
stellungen: 19 + 73; 49+43; 79 + 13. Die Anzahl aller Darstellungen
ist 10; sie liegt zwischen 3-3 = 9 und 4-3 = 12.
Wird allgemein die Anzahl der Darstellungen der geraden
Zahl 2n als Summe von zwei Lückenzahlen r-ter Stufe mit (Q(2n)
bezeichnet, so liegt G,(2 P, a? + 2M,) zwischen ^-^(2^) und
(% + l) - y, (2n,.). Für große Werte von 2n und mithin auch von 3?,
auf die es für die folgenden Betrachtungen ankommt, ergibt sich
hieraus ein einfacher asymptotischer Ausdruck für G,. (2n). Weil
nämlich auch 2n:2P^ zwischen 3? und 3?+l liegt, so ist



das Zeichen — , gesprochen asymptotisch gleich, besagt, daß der
Quotient der linken und der rechten Seite mit wachsenden Werten
von 2n der Grenze Eins zustrebt. Wenn der Quotient sich von
Eins nur um eine Größe unterscheiden soll, die dem Betrag nach
kleiner ist als eine vorgegebene, beliebig kleine positive Größe (5,
so muß 3? größer als 1:3 sein: die Genauigkeit 3 wird daher für
alle Werte von 2;z erreicht, die größer sind als 27Q-V. wo X—1
größer als 1:3 zu wählen ist. Je größer die Stufenzahl ist, um so
später wird also die Genauigkeit 3 erreicht.
Es ist zweckmäßig, den asymptotischen Ausdruck für G, (2n)
umzugestalten, indem der erste Faktor mit dem kleinsten Gewicht
multipliziert und der zweite Faktor dadurch dividiert wird.
Die rechte Seite der Gleichung (10) erscheint dann als das Produkt
der beständig wachsenden Funktion

(ii)


pt2)

und der die Schwankungen des Verlaufes bewirkenden Funktion
(12) 3,(2*) - ++.!+)....1/(1) ,