Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 17

Summen von zwei Lückenzahlen r-ter Stufe be-
trachtet werden, und das ist der erste Fortschritt, der aus
der Einführung der Lückenzahlen hervorgeht.
Der zweite Fortschritt besteht darin, daß man aus der im
Gebiet der Lückenzahlen geltenden asymptotischen Gleichung
(14) G,(2n) - 1F,(2?;) - N,(2A)
für die Primzahlen zu einem Näherungsausdruck
(18) G(2n) - 1F(2^) - A(2?z)
gelangt, in dem W(2n) wieder eine Wachstumsfunktion, A(2?t)
eine Schwankungsfunktion bezeichnet, und damit eine einheitliche
Herleitung der asymptotischen Darstellung von G(2/t) gewinnt,
während bisher die beiden Bestandteile des Näherungsausdrucks
durch verschiedenartige Überlegungen abgeleitet wurden. Es muß
sogleich hinzugefügt werden, daß auch durch die neue Herleitung
kein strenger Beweis der Formel (18) erbracht wird; sie bleibt
eine Vermutung. Allein wenn für die Wachstumsfunktion und die
Schwankungsfunktion auf dem neuen Weg dieselben Ausdrücke
erhalten werden, die sich früher auf anderen Wegen ergeben hatten
und durch die numerische Prüfung bestätigt worden waren,
so befestigt sich die Überzeugung von ihrer Richtigkeit.
Bei wachsender Stufenzahl zeigen die Lückenzahlen eine Er-
scheinung, die an die Semikonvergenz unendlicher Reihen er-
innert. Die Anzahl der Primzahlen, mit denen der Hauptabschnitt
r-ter Stufe beginnt, wächst mit r über alle Grenzen, gleichzeitig
aber nimmt die Dichtigkeit der Primzahlen, bezogen auf den
ganzen Hauptabschnitt, beständig ab und nähert sich, wie sogleich
bewiesen werden wird, der Grenze Null.
Um iu Übereinstimmung mit der üblichen Bezeichnung zu
bleiben, soll die Zahl Eins den ungeraden Primzahlen zugerech-
net und die Anzahl der ungeraden Primzahlen von 1 bis % (ein-
schließlich) mit ?i(^) bezeichnet werdenL Dann ist die Dichtigkeit
der ungeraden Primzahlen unter den Lückenzahlen r-ter Stufe des
Hauptabschnittes
i E. LANDAU, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,
Bd. 1, Leipzig 1909, 8. 3, zählt m = 2, P2 = 3, P3 = 5 usw., sodaß seine Funk-
tion rr(n) von 77 = 2 ab mit der hier erklärten Funktion yr(/;) übereinstimmt.