Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22 (A. 15)

PAUL STÄCKEL:

Wegnehmen desselben Vielfachen von 2P,, zum Minuendus und
Suhtrahendus auseinander hervorgehen, und sich also auf die
eigentlichen Darstellungen beschränkt, bei denen der Subtra-
hendus zp dem Hauptabschnitt r-ter Stufe angehört; dagegen muß
man zulassen, daß der Minuendus auch einem der folgenden Ab-
schnitte entnommen wird. Die Anzahl der eigentlichen Darstellun-
gen r-ter Stufe, deren sich die gerade Zahl 25 erfreut, soll mit
Pj. (25) bezeichnet werden.
Man hat so viele eigentliche Darstellungen r-ter Stufe von
25, als es Lückenzahlen ^ gibt, für die z^ + 25 wieder eine Lücken -
zahl 7-ter Stufe ist. Damit das der Fall ist, muß z*^ + 25 zu P,
teilerfremd sein. Mithin ergeben sich die gesuchten Zahlen z+
wenn man alle Pj.^ Lückenzahlen zp des Hauptabschnittes vornimmt
und der Reihe nach diejenigen aussondert, für die ^ + 25 durch
eine der ungeraden Primzahlen 3,5, ..., p,. teilbar ist.
Wir beginnen mit der Primzahl 3. Ist erstens 25 durch 3
teilbar, so hat zp + 25 niemals den Teiler 3, und es fällt keine
der Zahlen zp weg. Ist aber zweitens 25 nicht durch 3 teilbar,
so kommt es darauf an, ob zj, von der Form 67^ + ^ oder 67^ + 5
ist. Eine der beiden Formen muß es haben, weil die Lückenzahlen
r-ter Stufe auf die in § 1 auseinandergesetzte Art aus den Lücken-
zahlen erster Stufe enstehen. Hieraus folgt zugleich, was für die
weiteren Darlegungen wichtig ist, daß von den Pj.^ Lückenzahlen
7 -ter Stufe des Hauptabschnittes die eine Hälfte die Form 67z^ + l,
die andere Hälfte die Form 6 7++ 5 hat. Von den beiden Zahlen
1 + 25 und 5 + 25 ist aber, wenn 25 zu 3 teilerfremd ist, immer
die eine und nur die eine durch 3 teilbar; also fällt die Hälfte der
Zahlen ^ weg, und es bleiben nur g P^ Zahlen übrig, die sämtlich
einer der beiden Formen 677^ + 1 oder 67z^ + 5 angehören. Bedenkt
man jetzt, daß df(3) = 2 war, so läßt sich das Ergebnis auch so
aussprechen, daß nach Aussonderung der Lückenzahlen z+ bei
denen zp + 25 durch 3 teilbar ist, stets
+++2<S)
Lückenzahlen des Hauptabschnittes r-ter Stufe übrig bleiben.
Bei der folgenden Primzahl 5 hat man wieder zu unterschei-
den, ob 25 durch 5 teilbar ist oder nicht. Ist erstens 25 durch
5 teilbar, so gilt das von der zweiten Stufe ab sicher nicht für
^ + 25, und es sind alle noch vorhandenen Zahlen zj, beizubehalten.