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https://doi.org/10.11588/diglit.36399#0023
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 23
Ist aber zweitens 26 nicht durch 5 teilbar, so gehen aus jeder
der beiden Formen 6/z^+l und 6/^+5 je 5 — 1== 4 Formen der
Gestalt 3O7I2 + ZJ2 hervor, unter die die Lückenzahlen r-ter Stufe
des Hauptabschnittes gleichmäßig verteilt sind. Immer nur hei
einer der vier Formen ist zp + 26 durch 5 teilbar. Es ist nämlich
zp = 6^ + zp. Von den 5 an und für sich möglichen Werten 0,1,2,3, 4
darf ^ einen nicht annehmen, weil sonst zp durch 5 teilbar wäre,
und von den übrigbleibenden vier Werten scheidet derjenige aus,
für den zu + 26 durch 5 teilbar wird. Diese beiden Werte sind
voneinander verschieden, denn zp und zp + 26 können nicht gleich-
zeitig 5 zum Teiler haben, wenn, wie vorausgesetzt, 26 zu 5 teiler-
fremd ist. Hiernach kommt ein Viertel der vorhandenen Lücken-
zahlen zp in Wegfall, und es bleiben davon drei Viertel übrig.
Bedenkt man wiederum, daß 37(5) = 4/3 war, so läßt sich das Er-
gebnis so aussprechen, daß nach Aussonderung der Lückenzahlen
zp, für die zp + 26 durch 3 oder durch 5 teilbar ist, in allen Fällen
1 3
2 ' 4
Lückenzahlen zp übrighleiben.
Dieselbe Schlußweise läßt sich der Reihe nach auf die Prim-
zahlen 7,11, ...,Pc anwenden. Nachdem man etwa diejenigen
Lückcnzahlen zp ausgesondert hat, für die zp + 26 durch 3,5,7,...,
W-i teilbar ist, sind gewisse Lückenzahlen r-ter Stufe ührig-
geblieben, die sich gleichmäßig auf eine Anzahl arithmetischer
Reihen der Form 2P„_^zz^,_^ + zp_^ verteilen. Wenn 26 durch p^
teilbar ist, werden alle Zahlen beibehalten; wenn nicht, so be-
trachte man eine der Reihen und bringe deren allgemeines Glied
auf die Form
(29)
Von den p^, an und für sich möglichen Werten 0,1, 2, ...,p — 1
darf ^ einen nicht annehmen, weil sonst zp durch p„ teilbar wäre,
und von den übrigbleibenden p„ —1 Werten scheidet derjenige
aus, für den zp + 26 durch p^ teilbar wird. Diese beiden Werte
sind voneinander verschieden, denn zpund zp + 26 können nicht
gleichzeitig p^, zum Teiler haben, wenn — wie vorausgesetzt —
26 zu p^, teilerfremd ist. Hiernach kommt von jeder der vorhande-
nen arithmetischen Reihen und mithin auch von der Gesamtheit
Ist aber zweitens 26 nicht durch 5 teilbar, so gehen aus jeder
der beiden Formen 6/z^+l und 6/^+5 je 5 — 1== 4 Formen der
Gestalt 3O7I2 + ZJ2 hervor, unter die die Lückenzahlen r-ter Stufe
des Hauptabschnittes gleichmäßig verteilt sind. Immer nur hei
einer der vier Formen ist zp + 26 durch 5 teilbar. Es ist nämlich
zp = 6^ + zp. Von den 5 an und für sich möglichen Werten 0,1,2,3, 4
darf ^ einen nicht annehmen, weil sonst zp durch 5 teilbar wäre,
und von den übrigbleibenden vier Werten scheidet derjenige aus,
für den zu + 26 durch 5 teilbar wird. Diese beiden Werte sind
voneinander verschieden, denn zp und zp + 26 können nicht gleich-
zeitig 5 zum Teiler haben, wenn, wie vorausgesetzt, 26 zu 5 teiler-
fremd ist. Hiernach kommt ein Viertel der vorhandenen Lücken-
zahlen zp in Wegfall, und es bleiben davon drei Viertel übrig.
Bedenkt man wiederum, daß 37(5) = 4/3 war, so läßt sich das Er-
gebnis so aussprechen, daß nach Aussonderung der Lückenzahlen
zp, für die zp + 26 durch 3 oder durch 5 teilbar ist, in allen Fällen
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Lückenzahlen zp übrighleiben.
Dieselbe Schlußweise läßt sich der Reihe nach auf die Prim-
zahlen 7,11, ...,Pc anwenden. Nachdem man etwa diejenigen
Lückcnzahlen zp ausgesondert hat, für die zp + 26 durch 3,5,7,...,
W-i teilbar ist, sind gewisse Lückenzahlen r-ter Stufe ührig-
geblieben, die sich gleichmäßig auf eine Anzahl arithmetischer
Reihen der Form 2P„_^zz^,_^ + zp_^ verteilen. Wenn 26 durch p^
teilbar ist, werden alle Zahlen beibehalten; wenn nicht, so be-
trachte man eine der Reihen und bringe deren allgemeines Glied
auf die Form
(29)
Von den p^, an und für sich möglichen Werten 0,1, 2, ...,p — 1
darf ^ einen nicht annehmen, weil sonst zp durch p„ teilbar wäre,
und von den übrigbleibenden p„ —1 Werten scheidet derjenige
aus, für den zp + 26 durch p^ teilbar wird. Diese beiden Werte
sind voneinander verschieden, denn zpund zp + 26 können nicht
gleichzeitig p^, zum Teiler haben, wenn — wie vorausgesetzt —
26 zu p^, teilerfremd ist. Hiernach kommt von jeder der vorhande-
nen arithmetischen Reihen und mithin auch von der Gesamtheit