Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

24 (A. 15)

PAUL STÄCKEL:

der betrachteten Lückenzahlen der (p„ —l)-te Teil in Wegfall.
Bedenkt man endlich, daß

ist, so läßt sich das Ergebnis so aussprechen, daß nach Aussonde-
rung der Lückenzahlen u,, für die f, + 2<5 durch eine der Prim-
zahlen 3,5,7, .... p„ teilbar ist, in allen Fällen


Lückenzahlen übrigbleiben.
Das Verfahren erreicht sein Ende, wenn man zur Primzahl p,
gelangt ist. Der Nenner wird dann gleich P^, hebt sich also gegen
den Faktor P).' weg, und wenn wieder die Abkürzung

(9)

Pf = (3-2) (5-2)...(p,-2)

benutzt wird, so gilt für die Anzahl der eigentlichen Darstellungen
der geraden Zahl 2(5 als Differenz von zwei Lückenzahlen r-ter
Stufe die Formel

(30)

/f(23) = Pf - .5,(23) .

Es ist bemerkenswert, daß die Schwankungsfunktion N^(277) auch
bei der Darstellung einer geraden Zahl als Differenz von zwei
Lückenzahlen r-ter Stufe auftritt; gegenüber der Darstellung als
Summe von zwei Lückenzahlen besteht der Unterschied, daß der
erste Faktor P^ von 2(5 unabhängig und zwar eine durch die
Stufenzahl r bedingte Konstante ist.
Zum Schluß soll die Formel (30) auf einige besondere Fälle
angewandt werden. Für 2(5 = 2 gelangt man zu den Paaren von
Lückenzahlen r-ter Stufe, die in der Reihe der ungeraden Zahlen
unmittelbar aufeinander folgen. Für Primzahlen solcher Art habe
ich den Namen von Primzahl Zwillingen vorgeschlagen (Dar-
S. 22) und will daher Paare von Lückenzahlen der Diffe-
renz 2 als Lückenzahlzwillinge bezeichnen. Die Anzahl der
Lückcnzahlzwillinge r-ter Stufe des Hauptabschnittes ist nach der
Formel (30):

(31)

P,(2) = Pf .