Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15)

25

Es ist leicht, die Formel (31) unmittelbar herzuleiten, indem man
sich des Schlusses von r auf r+1 bedient. Alle Lückenzahlzwillinge
(r+l)-ter Stufe im Hauptabschnitt (r+l)-ter Stufe sind unter den
Lückenzahlzwillingen r-ter Stufe der ersten Abschnitte r-ter
Stufe enthalten. Damit umgekehrt ein Zwilling r-ter Stufe auch der
folgenden Stufe angehört, darf keine der beiden Zahlen 2PW + ?7,,
2PW + zJ,+ 2 durch teilbar sein, und es sind also aus der
Reihe 0,1,2, p,^—1 der für ^ in Betracht kommenden Werte
die beiden Ausnahmewerte auszusondern, für die Teilbarkeit durch
p,_^ eintritt; diese Werte sind voneinander verschieden, weil von
zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen höchstens die eine
durch p,_^ teilbar sein kann. Demnach entspringen aus jedem der
77,(2) Zwillinge des Hauptabschnittes r-ter Stufe p,_^ —2 Zwillinge
des Hauptabschnittes (r + l)-ter Stufe, und es gilt die Formel:
(32) ^,(2) = /f,(2).(p,+,-2).
Nun ist 77^(2) = 1 = 3—2, denn es gibt nur das eine Zwillingspaar
erster Stufe 5,7; folglich besteht die Formel (31) zu Recht.
Auch für 23 = 2'" führt der Schluß von r auf r+1 leicht zum
Ziel. Es gilt die entsprechende Formel
(33) V+,(2'") = ^(2").(p,„-2),
und man hat wieder 77^(2'") = !, denn bei ungeradem p, ist 1+2",
bei geradem p aber 5 + 2" durch 3 teilbar. Somit wird, der For-
mel (30) entsprechend:
(34) N,(2") = P{* = #,(2).
Aus dem Vorhergehenden folgt noch, daß bei ungeradem p die
Lückenzahlpaare der Differenz 2" die Form 6/^—1, 6^ + 1 haben,
bei ungeradem p aber die Form 6n^+l, 6^—1.
Für 23 = 6 erhält man aus der Formel (30)
(35) 77,(6) = 2 - 7f) = 2 - 77,(2) ,
sodaß die Differenz 6 bei den Lückenzahlen besonders häufig auf-
tritt. Die Lückenzahlpaare der Differenz 6 lassen sich in drei
Klassen teilen, je nachdem die beiden Zahlen und &,+ 6 be-