Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 31

Alan setze 6n^ = 2P, ^ + 6h- wo 6 h dem Hauptbereich an-
gehöre; um Ausnahmefälle zu vermeiden, werde angenommen,
daß i? mindestens gleich 1 sei. Die beiden Lückenzahlzwillinge,
die 6^1 als Summe ergeben, mögen in der Form 2P, z/ + zp,
2 P, z/ + zp + 2 und 2 P, z + zu,, 2 P, z + zu, + 2 angenommen werden,
wo zp und zu, dem Hauptabschnitt angehören. Aus den Gleichungen

2P, % + 6h = (2P, z/ + zp) + (2P, z + zu, + 2)
- (2P,z/ + u, + 2) + (2P,z + zu,)

folgt zunächst, daß zp + zu, + 2 bis auf ein Vielfaches von 2P, mit
6^ übereinstimmt, und daher ist zz,+ zu, + 2 entweder =6h oder
= 6h+2P,. Weiter sind z/ und z so zu wählen, daß, je nachdem
einer der beiden genannten Fälle eintritt, z/+z = %—e wird, wo
g = 0, 1 ist.
Die Anzahl der Paare von Lückenzahlzwillingen zp,zp + 2 und
zu,, zu,+ 2, die Paare zp, zp + 2 und zu,, zu, + 2 als verschieden an-
gesehen, wenn zp von zu, verschieden ist, für die zp + zu, + 2 bis auf
ein Ahelfaches von 2P, mit 6h übereinstimmt, soll das Zwillings -
gewicht r-ter Stufe der Zahlenklasse 2P, ^ + 6h genannt und
mit ,F^(6h) bezeichnet werden.
Zur Ermittelung der Gewichte F.^(6h) gelangt man wieder
durch den Schluß von 7* auf r + 1. Es sei 6p+i eine durch 6 teil-
bare Zahl des Hauptbereichs (7'+'l)-ter Stufe, und gj.+i(6p+i) be-
deute die Anzahl der zu Lückenzahlzwillingen gehörenden Werte-
paare zp_^,zu,_^, für die zp_^ + zu,^ + 2 bis auf ein Vielfaches von
2P,_^ mit 6h+i_ übereinstimmt. Alan setze 6h+i = 2P, ^ + 6p,
zp^ = 2P, p + zz,, zu,^ = 2P,. p + zu,, wo 6h, zp, ^ dmn. Hauptbereich
r-ter Stufe angehören und die Zahlen s, 77W der Reihe 0,1,2,...,
p,+i —1 zu entnehmen sind. Alsdann sind auch zp, zp + 2 und
zu,,zu, + 2 Lückenzahlzwillinge, und die Summe zp + zu,+ 2 unter-
scheidet sich von 6 h um ein Vielfaches von 2P,. Alithin gibt es
F?(6h) Paare u,,zu,, die man nehmen darf. Ferner muß p + <^ bis
auf ein Vielfaches von p,_^ mit ^ —g übereinstimmen. Für p darf
man die Zahlen der Reihe 0,1,2, ..., p,_^—1 setzen, ausgenommen
die Zahlen %, für die 2P, po + zz, durch p,+i teilbar wird, und die
Zahlen Po,Pi,Pi, für die dasselbe, der Reihe nach für 2P, po + zp + 2,
2P, —g —p^ + zu,, 2P, —g —%) + zu, + 2 eintritt. Alan beachte,
daß % notwendig verschieden ist von % und ebenso % von %.
Für die weitere Untersuchung sind vier Fälle zu unterscheiden.