Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

34 (A.15)

PAUL STÄCKEL:

^ ^ ^ jx(^-3)(^-3)...(^-3).(r/-4)(^-4)...(f-4).
Aus den in § 1 auseinandergesetzten Symmetrie-Eigenschaften
der Reihe der Lückenzahlen folgt die nützliche Beziehung
(50) cA' (2 W -6h)- yf (6;,) ;
es genügt daher, die Zwillingsgewichte für die g(P^ —3) Klassen
2P, 3r + 6h zu berechnen, bei denen 6h von 6 bis P^ —3 geht, und
dazu das zu sich selbst symmetrische Gewicht y^(2P,.).
Das Zwillingsgewicht r-ter Stufe wird am kleinsten, wenn die
drei Zahlen 6h —2, 6h,6h + 2 gleichzeitig zu 5,7, . ..,p,^ teilerfremd
sind. Das findet zum Beispiel statt, wenn 6h —6 ist. Mittels des
Schlusses von ?' auf r+'i zeigt man leicht, daß im ganzen zu
(51) /f = (5-3) (7-3).-(p,-3)
Zahlen 6h des Hauptbereichs r-ter Stufe das kleinste Zwillings-
gewicht gehört. Denn beim Übergang zur (r+l)-ten Stufe ent-
springen aus drei Zahlen 64. —2, 6h, 6h + 2, die auf der 7'-ten
Stufe das kleinste Gewicht lieferten, zunächst p^ Zahlentripel
2P^ + 6h-2, 2P^ + 6h, 2P^ + 6h+2, wo ^ = 0,1,2, ...,p^-l
zu setzen ist, und alle diese Zahlen sind teilerfrcmd zu 5, 7, . ..,p,.
Damit sie auch zu p,_^ teilerfremd sind und also auf der (r+l)-ten
Stufe das kleinste Gewicht liefern, müssen diejenigen Werte von ^
ausgeschieden werden, für die eine der drei Zahlen des Tripels
durch p,+i teilbar wird, und weil die drei Ausnahmewerte von ^
voneinander verschieden sind, so erhält man auf der (r+l)-ten
Stufe im ganzen (p,_^ —3)-mal soviel Zahlen 64.+1, die das kleinste
Gewicht (r+l)-ter Stufe ergehen, als es auf der r-ten Stufe Zahlen
6h mit dem kleinsten Gewicht r-ter Stufe gab. Weil nun auf der
zweiten Stufe 2 = 5—3 solcher Zahlen vorhanden sind, so ist P^
die gesuchte Zahl. Das kleinste Gewicht seihst wird
(52) U" = (5-4)(7-4)...(p,-4).
Das größte Zwillingsgewicht r-ter Stufe ist
(53) .f (2P,) = (5-2)(7-2)...(p,-2) - ;
es wird nur für 6%, —2P, oder die Klasse 2P, 3; erreicht.