DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.36391#0003
Am Schluß meiner Arbeit ,,Uber vollständig reduzible lineare
homogene Differentialgleichungen" (Math. Annalen Bd. 62, S. 112),
in der ich den Begriff der vollständigen Reduzibilität bei Diffe-
rentialgleichungen eingeführt habe, zeige ich, daß jeder lineare
homogene Differentialausdruck in größte vollständig reduzible
Faktoren zerlegbar ist und daß diese Zerlegung im Gegensatz zu
derjenigen in irreduzible Faktoren eindeutig gemacht werden
kann. Neben diese alte Zerlegung eines Differentialausdruckes,
die ich künftig eine Zerlegung in aufeinanderfolgende hintere
größte vollständig reduzible Faktoren nennen will, soll
hier eine neue Zerlegung gestellt werden, die ich als Zerlegung
in aufeinanderfolgende vordere größte vollständig redu-
zible Faktoren bezeichnen werde. Für diese neue Zerlegung
gilt der im folgenden abgeleitete Satz 11; er zeigt, daß diese Zer-
legung ähnlichen Charakter wie die alte hintere Zerlegung besitzt,
für die das bereits früher bewiesene, hier als Satz 1 wiederholte
Theorem besteht. Bei beiden Zerlegungen ist auffallenderweise
die Anzahl der Faktoren die gleiche, und es besteht auch noch ein
weiterer bemerkenswerter Zusammenhang zwischen den zwei Zer-
legungen; hiervon handelt Satz 111. Schließlich wird in Satz IV
die Bedeutung der neuen Zerlegung für Differentialausdrücke
dargelegt, die gegenseitig von derselben Art sind.
Unseren Untersuchungen hegt ein fester Rationalitätsbereich
X zugrunde, wie ich ihn in der zitierten Arbeit in den Math. Annalen
Bd. 62, S. 90 oder in meinem Aufsatz ,,Über lineare homogene
Differentialsysteme und ihre Sequenten" in den Sitzungsberichten
der Heidelberger Akademie, Jahrg. 1913, 17. Abhandlung, S. 3
definiert habe. Alle im folgenden auftretenden Differentialaus-
drücke sind ausnahmslos linear und homogen; sie haben stets
Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche X, diesem gehören
auch alle im folgenden verwandten Funktionen der unabhängigen
Variablen 3: an, auf ihn beziehen sich endlich auch Reduzibilität
und Irreduzibilität.
Den folgenden Betrachtungen schicke ich eine Definition
des Begriffes der Ähnlichkeit zweier Differentialaus-
1*
homogene Differentialgleichungen" (Math. Annalen Bd. 62, S. 112),
in der ich den Begriff der vollständigen Reduzibilität bei Diffe-
rentialgleichungen eingeführt habe, zeige ich, daß jeder lineare
homogene Differentialausdruck in größte vollständig reduzible
Faktoren zerlegbar ist und daß diese Zerlegung im Gegensatz zu
derjenigen in irreduzible Faktoren eindeutig gemacht werden
kann. Neben diese alte Zerlegung eines Differentialausdruckes,
die ich künftig eine Zerlegung in aufeinanderfolgende hintere
größte vollständig reduzible Faktoren nennen will, soll
hier eine neue Zerlegung gestellt werden, die ich als Zerlegung
in aufeinanderfolgende vordere größte vollständig redu-
zible Faktoren bezeichnen werde. Für diese neue Zerlegung
gilt der im folgenden abgeleitete Satz 11; er zeigt, daß diese Zer-
legung ähnlichen Charakter wie die alte hintere Zerlegung besitzt,
für die das bereits früher bewiesene, hier als Satz 1 wiederholte
Theorem besteht. Bei beiden Zerlegungen ist auffallenderweise
die Anzahl der Faktoren die gleiche, und es besteht auch noch ein
weiterer bemerkenswerter Zusammenhang zwischen den zwei Zer-
legungen; hiervon handelt Satz 111. Schließlich wird in Satz IV
die Bedeutung der neuen Zerlegung für Differentialausdrücke
dargelegt, die gegenseitig von derselben Art sind.
Unseren Untersuchungen hegt ein fester Rationalitätsbereich
X zugrunde, wie ich ihn in der zitierten Arbeit in den Math. Annalen
Bd. 62, S. 90 oder in meinem Aufsatz ,,Über lineare homogene
Differentialsysteme und ihre Sequenten" in den Sitzungsberichten
der Heidelberger Akademie, Jahrg. 1913, 17. Abhandlung, S. 3
definiert habe. Alle im folgenden auftretenden Differentialaus-
drücke sind ausnahmslos linear und homogen; sie haben stets
Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche X, diesem gehören
auch alle im folgenden verwandten Funktionen der unabhängigen
Variablen 3: an, auf ihn beziehen sich endlich auch Reduzibilität
und Irreduzibilität.
Den folgenden Betrachtungen schicke ich eine Definition
des Begriffes der Ähnlichkeit zweier Differentialaus-
1*