Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zerlegungen eines linearen homogenen Differentialausdruckes. (A. 8) 5

(3)

PA=A;Pist,

so folgt ans (2) und (3) die Relation

oder
(4)


Da

/(Ü

und


Funktionen des Rationalitätsbcreiches

sind, besagt (4), daß (9 und P ähnlich sind, also ist unsere Be-
ziehung transitiv.

Aus der Definition (1) folgt unmittelbar, daß zwei ähnliche
Differentialausdrücke P und (2 dieselbe Ordnung haben. Weiter
ersieht man aus (1), daß, wenn ein Integral der Differential-
gleichung (9 = 0 ist, so ist ein solches der Differentialglei-
chung P = 0; aus (2) oder aus der Symmetrie folgt, daß durch jedes

Integral von P = 0 ein Integral von (7 = 0 bestimmt wird.
/Ü)
Stehen umgekehrt zwei Differentialgleichungen P = 0 und (7 = 0
in einer solchen Beziehung, daß man jedes Integral von
P = 0 aus einem Integral von (7 = 0 durch bloße Multiplikation
mit einer dem Rationalitätsbereiche X angehörigen Funktion
/G) finden kann, also yp = /(^)y(/p, und ist auch stets, wenn
ein Integral von (7 = 0 ist, ein Integral von P = 0, so haben
die Differentialgleichungen P = 0 und (7 = 0 die gleiche Ordnung.
Weiter wird die Differentialgleichung P/ = 0 durch alle Integrale
von () = 0 befriedigt, d. h. P/ muß durch (2 hinten^ teilbar sein;
da P/ und- (7 dieselbe Ordnung haben, existiert , eine Funktion
des Rationalitätsbereiches, so daß die Gleichung (i) besteht.
Hiermit ist die Übereinstimmung der früher gegebenen Definition

^ Ist der Differentialausdruck A zerlegt in das symbolische Produkt
^4 = AiAo...Aa, so nenne ich den letzten Faktor einen hinteren Teiler
von ^4, den ersten einen vorderen Teiler von A; die mittleren Teiler
von ^4 werden nicht verwandt. Bisher wurden in der Literatur nur die hin-
teren Teiler berücksichtigt.