Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zerlegungen eines linearen homogenen Differentialausdruckes. (A. 8)

(9)


wird. Führt man (9) in die linke Seite von (8) ein, so erhält man


(10)

Da IF3/2 mit IFg ähnlich ist, ergibt sich, daß IF3/2 ein hinterer
größter vollständig reduzibler Differentialausdruck ist, der zu (10)
gehört; die gleiche Eigenschaft hat aber auch Fg. Mithin folgt die
Existenz einer bloßen Funktion von 3t, /g(^), so daß


(11)

ist. Allgemein ergibt sich, indem man diese Schlußweise fort-
setzt, ein System von Relationen

(12)


und man sieht, daß X = V sein muß. In (12) sind /o= 1, und /R2)
(?' =1,2,---, X) bloße Funktionen von 3X also Differential-
funktionen nullter Ordnung, die dem Rationalitätsbereich E an-
gehören.
In den Gleichungen (12) hat man den schon früher für die
Zerlegung eines Differentialausdruckes in hintere größte vollstän-
dig reduzible Faktoren von mir aufgestellten
Satz I. Auf welche Art und Weise auch immer ein
linearer homogener Differentialausdruck (1 in aufein-
anderfolgende hintere größte vollständig reduzible Fak-
toren zerlegt wird, so enthält jede Zerlegung gleich-
viele größte vollständig reduzible Faktoren, und diese
sind bei irgend zwei Zerlegungen stets der Reihe nach
einander so zugeordnet, daß zwei zugeordnete größte
vollständig reduzible Differentialausdrücke ähnlich
sind.
Verlangt man von der Zerlegung (5), daß der Koeffizient der
höchsten Ableitung bei F^ Eg, - - , F;_^ gleich der Einheit, bei
F^ gleich dem Koeffizienten der höchsten Ableitung von (7 sein
soll, so sind die Differentialausdrücke F^, Fg, - - -, F;, also auch
die Zerlegung (5), eindeutig bestimmt.