Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. I. (A. 13) 7

Man verifiziert nun leicht, daß die so definierten Funktionen
die Koeffizienten der folgenden Reihenentwicklung sind:

(13.)

y = 0


In der Tat folgt hieraus für ar = %
i = C ,
i' = 0
sodaß zunächst die Anfangsbedingungen (9b.) und (10b.) erfüllt
sind. Ferner ergibt sich durch Differentiation von (13.) nach ar:

(14.)

- / f 7/0 - c
,r*o dar r—f

und also mit Rücksicht auf (13)

A, dd/„ / f f
y —- r = ne i + —+ -
,.=o dar \ 7* /*


hieraus entstehen aber durch Koeffizientenvergleichung genau die
Systeme (7b.) und (8b.).
Die Reihen (13.) und (14.) sind, wie sich aus den rechten
Seiten dieser Gleichungen ergibt, für [f]<r konvergent. Für ar>%
d^
sind die Koeffizienten und offenbar > 0 und sie wachsen
dar
mit ar. Daraus folgt, daß die Konvergenz für konstantes im Inter-
vall %<ar<& gleichmäßig ist.
Wenn wir jetzt zeigen können, daß
) dl, y I ^ r ,
dar dar dar
ist (vergl. (12.)), so ergibt sich ohne weiteres auch die zu be-
weisende gleichmäßige Konvergenz der Reihen (4.) und (5.).

(15.)
(16.)