Störungstheorie der Planeten der Jupitergruppe.
(A. 16) 33
sodaß auch hier eine gegenseitige Zerstörung aller Glieder, die vom
gleichen Grade und unabhängig von y sind, stattfinden muß.
Schließlich müssen sich in F/F(F7T bei Benutzung derselben
Kontrolle wie oben sämtliche Glieder zerstören, weil TT allein sich
bei jener Spezialisierung bereits auf die oben fixierten Terme
2. Grades in ?7 reduziert und unter allen Umständen vom 3. Grade
bleibt, sodaß erst die Terme vom 5. Grade ab von 0 verschieden
sein können. Analog müssen die Entwicklungen für F/F7Fp,
F/F7F(P, F/F7P, F/F7Pp und F/F7P bei der speziellen Sub-
stitution / = G und F=tF innerhalb der Glieder bis zum 4. Grade
einschließlich verschwinden.
Eine zweite Kontrolle für die Entwicklungen von 7?", wo
% = 1,2,..., ergibt sich aus der Bemerkung, daß der Ausdruck für
cosU, wie aus der Formel 14) zu ersehen ist, ungeändert bleiben
muß, wenn / mit F, y mit y' und r mit F vertauscht wird, d. h.
also, wenn / mit f, e mit F, G mit G' und r mit F vertauscht
wird. Folglich bleibt nach 16) auch 7?, also allgemein TU, den ge-
nannten Vertauschungen gegenüber invariant. Folglich muß in
TU, wenn ein beliebiger Term der Entwicklung die Form:
/X^x''"h^"cos(cF + pF+yG + (iG'+^T + yF) hat, wo / ein nume-
rischer Faktor, auch stets der durch Vertauschung der genann-
ten Größen entstehende korrespondierende Term vorhanden sein:
/X'"x'^h^' cos (/?^ + aF+ dG + yG'+yr + ^F).
Schließlich ergibt sich für alle Funktionen F/FF"FU eine
Generalkontrolle der Argumente auf Grund der Bedingung, daß
die Summe der Koeffizienten
52) a + F + y + <9 + <^ + T = 0
sein muß. Der Beweis folgt aus den Definitionsformeln 14) resp.
23) für cosF resp. p = r/F—l = %(l+a;)/F(l+;F)--l, wenn man
berücksichtigt, daß die Bedingung 52) zunächst für die Argumente
/ —F+X)r und / + F—er und ferner für 3?, ^y resp. für F, gj^y' er-
füllt ist, weil y resp. F, y' nur von G resp. dU=F—G'
abhängig sind, und daß deshalb schließlich alle Entwicklungen von
F" und TU, also auch von F/F F"^U aus Produkten von Kosi-
nussen und Sinussen bestehen, deren Argumente die Bedingung
52) erfüllen; folglich muß die Bedingung 52) auf Grund des Prin-
zips der Zerlegung eines Produkts von Kosinussen oder Sinussen
in eine Summe von Kosinussen oder Sinussen allgemein für das
Argument jedes Termes in F/F F"TU erfüllt sein.
Sitzungsberichte d. Heideib. Akad., math.-naturw. KI. A. 1918. 16. Abh.
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(A. 16) 33
sodaß auch hier eine gegenseitige Zerstörung aller Glieder, die vom
gleichen Grade und unabhängig von y sind, stattfinden muß.
Schließlich müssen sich in F/F(F7T bei Benutzung derselben
Kontrolle wie oben sämtliche Glieder zerstören, weil TT allein sich
bei jener Spezialisierung bereits auf die oben fixierten Terme
2. Grades in ?7 reduziert und unter allen Umständen vom 3. Grade
bleibt, sodaß erst die Terme vom 5. Grade ab von 0 verschieden
sein können. Analog müssen die Entwicklungen für F/F7Fp,
F/F7F(P, F/F7P, F/F7Pp und F/F7P bei der speziellen Sub-
stitution / = G und F=tF innerhalb der Glieder bis zum 4. Grade
einschließlich verschwinden.
Eine zweite Kontrolle für die Entwicklungen von 7?", wo
% = 1,2,..., ergibt sich aus der Bemerkung, daß der Ausdruck für
cosU, wie aus der Formel 14) zu ersehen ist, ungeändert bleiben
muß, wenn / mit F, y mit y' und r mit F vertauscht wird, d. h.
also, wenn / mit f, e mit F, G mit G' und r mit F vertauscht
wird. Folglich bleibt nach 16) auch 7?, also allgemein TU, den ge-
nannten Vertauschungen gegenüber invariant. Folglich muß in
TU, wenn ein beliebiger Term der Entwicklung die Form:
/X^x''"h^"cos(cF + pF+yG + (iG'+^T + yF) hat, wo / ein nume-
rischer Faktor, auch stets der durch Vertauschung der genann-
ten Größen entstehende korrespondierende Term vorhanden sein:
/X'"x'^h^' cos (/?^ + aF+ dG + yG'+yr + ^F).
Schließlich ergibt sich für alle Funktionen F/FF"FU eine
Generalkontrolle der Argumente auf Grund der Bedingung, daß
die Summe der Koeffizienten
52) a + F + y + <9 + <^ + T = 0
sein muß. Der Beweis folgt aus den Definitionsformeln 14) resp.
23) für cosF resp. p = r/F—l = %(l+a;)/F(l+;F)--l, wenn man
berücksichtigt, daß die Bedingung 52) zunächst für die Argumente
/ —F+X)r und / + F—er und ferner für 3?, ^y resp. für F, gj^y' er-
füllt ist, weil y resp. F, y' nur von G resp. dU=F—G'
abhängig sind, und daß deshalb schließlich alle Entwicklungen von
F" und TU, also auch von F/F F"^U aus Produkten von Kosi-
nussen und Sinussen bestehen, deren Argumente die Bedingung
52) erfüllen; folglich muß die Bedingung 52) auf Grund des Prin-
zips der Zerlegung eines Produkts von Kosinussen oder Sinussen
in eine Summe von Kosinussen oder Sinussen allgemein für das
Argument jedes Termes in F/F F"TU erfüllt sein.
Sitzungsberichte d. Heideib. Akad., math.-naturw. KI. A. 1918. 16. Abh.
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