12 (A. 7)
LEO KOENiGSBERGER:
yi - a_^(x-Q ^ + a^^(x-^+' + ... + ao + ai(x-Q + a2(x-Q' + ...
Y2 = K-X, (x-Q"^+^ + ... + Ko + Kl (x-?) + K., (x-?)^ + - ,
so werden auch und den gemeinsamen Wert oo annehmen,
also x = ^ wiederum der Gleichung D'=(J genügen.
Es werden somit alle Lösungen E, der Diskrimi-
nantengleichung D^O einer algebraischen Funktion
y von x auch die Diskriminante D' der algebraischen
Gleichung für die Ableitung von y zu Null machen,
mit Ausnahme derjenigen Werte von welche mehr-
fache Eindeutigkeitspunkte der Funktion y dar-
stellen, in deren Umgehung die Entwicklungen der
beiden zugehörigen Zweige der Funktion y, welche
einen gemeinsamen endlichen Wert 7] annehmen,
mit einer Potenz von (x — beginnen, deren Expo-
nenten >1 resp. =1 oder beide =1 sind, wenn im letz-
teren Falle die Koeffizienten der beiden Anfangs-
glieder voneinander verschieden sind.
So wird z. B. die durch die Gleichung
y'-2y + i-x'-x' = 0
definierte algebraische Funktion y, da die Biskriminantengleichung
D = 4(x' + x') = 0
lautet, für x=W und für die Lösungen der Gleichung l + x^ = 0
gleiche Werte und zwar in beiden Fällen den Wert 1 annehmen;
während aber die Lösungen der Gleichung xWl = 0 Verzweigungs-
punkte von y sind, charakterisiert x = 0 einen mehrfachen Ein-
deutigkeitspunkt und zwar sind die Entwicklungen von y in der
Umgebung des Nullpunktes
yi = l + x + ---, y2 = l-x + ---,
also in den obigen Bezeichnungen m = l, ^ = 1, ao^o^. In der Tat
hat die Gleichung für die Ableitung dieser algebraischen Funktion
LEO KOENiGSBERGER:
yi - a_^(x-Q ^ + a^^(x-^+' + ... + ao + ai(x-Q + a2(x-Q' + ...
Y2 = K-X, (x-Q"^+^ + ... + Ko + Kl (x-?) + K., (x-?)^ + - ,
so werden auch und den gemeinsamen Wert oo annehmen,
also x = ^ wiederum der Gleichung D'=(J genügen.
Es werden somit alle Lösungen E, der Diskrimi-
nantengleichung D^O einer algebraischen Funktion
y von x auch die Diskriminante D' der algebraischen
Gleichung für die Ableitung von y zu Null machen,
mit Ausnahme derjenigen Werte von welche mehr-
fache Eindeutigkeitspunkte der Funktion y dar-
stellen, in deren Umgehung die Entwicklungen der
beiden zugehörigen Zweige der Funktion y, welche
einen gemeinsamen endlichen Wert 7] annehmen,
mit einer Potenz von (x — beginnen, deren Expo-
nenten >1 resp. =1 oder beide =1 sind, wenn im letz-
teren Falle die Koeffizienten der beiden Anfangs-
glieder voneinander verschieden sind.
So wird z. B. die durch die Gleichung
y'-2y + i-x'-x' = 0
definierte algebraische Funktion y, da die Biskriminantengleichung
D = 4(x' + x') = 0
lautet, für x=W und für die Lösungen der Gleichung l + x^ = 0
gleiche Werte und zwar in beiden Fällen den Wert 1 annehmen;
während aber die Lösungen der Gleichung xWl = 0 Verzweigungs-
punkte von y sind, charakterisiert x = 0 einen mehrfachen Ein-
deutigkeitspunkt und zwar sind die Entwicklungen von y in der
Umgebung des Nullpunktes
yi = l + x + ---, y2 = l-x + ---,
also in den obigen Bezeichnungen m = l, ^ = 1, ao^o^. In der Tat
hat die Gleichung für die Ableitung dieser algebraischen Funktion