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https://doi.org/10.11588/diglit.36426#0013
Über die IlAMiLioNschen Differentialgleichungen der Dynamik. III. (A. 7) 13
die Diskriminante
D'= 16(l + x^)(2 + 5x^)"
und also mit D den Faktor x nicht gemein.
Da somit für eine algebraische Funktion einer unabhängigen
Variabein nur diejenigen Lösungen ^ von D = 0 nicht Lösungen
von D'=0 sind, welche mehrfache Eindeutigkeitspunkte der alge-
braischen Funktion definieren, von der je zwei Zweige in der Um-
gebung derselben Entwicklungen besitzen von der Eigenschaft,
daß, wenn eine derselben mit der ersten Potenz von x—E, beginnt,
dies nicht für alle Zweige der Fall ist, oder wenn dies für alle
Zweige statthat, die Koeffizienten dieser ersten Potenzen für alle
Zweige verschieden sind, so wird man, um D von diesen Werten
frei zu machen, nur zwischen D und D' den größten gemeinsamen
Teiler d zu suchen brauchen, und es wird dann die Gleichung
d = 0 nur Lösungen und zwar alle besitzen, für welche nicht nur
die algebraische Funktion y, sondern auch deren Ableitung gleiche
Werte annehmen, während die Auflösung der Gleichung = 0
als Lösungen diejenigen und alle Werte von x liefert, welche mehr-
fache Eindeutigkeitspunkte der Funktion sind, für welche die Ab-
leitungen sämtlich verschieden sind.
So hat in der Tat in dem obigen Beispiel die algebraische
Gleichung
y2-2y + l-x2-x3 = 0
die Diskriminante
D = 4(x' + x%
und die algebraische Gleichung für die Ableitung dieser Funktion
die Diskriminante
D'= 16(25x3 + 45x6 + 24x3 + 4),
und es ergibt sich als größter gemeinsamer Teiler von D und D'
die Diskriminante
D'= 16(l + x^)(2 + 5x^)"
und also mit D den Faktor x nicht gemein.
Da somit für eine algebraische Funktion einer unabhängigen
Variabein nur diejenigen Lösungen ^ von D = 0 nicht Lösungen
von D'=0 sind, welche mehrfache Eindeutigkeitspunkte der alge-
braischen Funktion definieren, von der je zwei Zweige in der Um-
gebung derselben Entwicklungen besitzen von der Eigenschaft,
daß, wenn eine derselben mit der ersten Potenz von x—E, beginnt,
dies nicht für alle Zweige der Fall ist, oder wenn dies für alle
Zweige statthat, die Koeffizienten dieser ersten Potenzen für alle
Zweige verschieden sind, so wird man, um D von diesen Werten
frei zu machen, nur zwischen D und D' den größten gemeinsamen
Teiler d zu suchen brauchen, und es wird dann die Gleichung
d = 0 nur Lösungen und zwar alle besitzen, für welche nicht nur
die algebraische Funktion y, sondern auch deren Ableitung gleiche
Werte annehmen, während die Auflösung der Gleichung = 0
als Lösungen diejenigen und alle Werte von x liefert, welche mehr-
fache Eindeutigkeitspunkte der Funktion sind, für welche die Ab-
leitungen sämtlich verschieden sind.
So hat in der Tat in dem obigen Beispiel die algebraische
Gleichung
y2-2y + l-x2-x3 = 0
die Diskriminante
D = 4(x' + x%
und die algebraische Gleichung für die Ableitung dieser Funktion
die Diskriminante
D'= 16(25x3 + 45x6 + 24x3 + 4),
und es ergibt sich als größter gemeinsamer Teiler von D und D'