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https://doi.org/10.11588/diglit.36502#0013
Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. III. (A. 12) 13
Weitere bemerkenswerte Sätze ergeben sich durch Speziali-
sierung der Funktionen Fy(;r). Sei beispielsweise F„(%) = FAf,
wo F, Af positive Zahlen sind. Die Reihe
^ FATT'
i'=0
1 f — e
konvergiert absolut für y < — ; man kann also r = —y setzen,
wo e beliebig klein sein darf. Die Differentialgleichung
y' = X FArr* -
)'=0
F
i -Afy
läßt sich, wenn man mit dem Nenner heraufmultipliziert, sofort
integrieren. Man erhält, da y für 3? = a den Wert [c] annehmen soll:
y- ^.!/1 - - F(^-u) + je} - }c]'.
Also, wenn man nach y auflöst:
1 j/ (1 -Af ] c])' -2F.1/ (.r. - u)
—
So lange der Radikand A F bleibt, also für
% — u <
(1-Af ]c])3-F
2FM
bleibt y < ^ = r; somit sind die Voraussetzungen des Satzes 1
erfüllt, und man erhält, wenn e an Stelle von F geschrieben
wird, das
IioROLLAR 2. kFe^/r die Foe//izien^e7r /^(V) der Di//ere^^uF
gieicAun.^
d' = X A< (^) d"
0
Weitere bemerkenswerte Sätze ergeben sich durch Speziali-
sierung der Funktionen Fy(;r). Sei beispielsweise F„(%) = FAf,
wo F, Af positive Zahlen sind. Die Reihe
^ FATT'
i'=0
1 f — e
konvergiert absolut für y < — ; man kann also r = —y setzen,
wo e beliebig klein sein darf. Die Differentialgleichung
y' = X FArr* -
)'=0
F
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läßt sich, wenn man mit dem Nenner heraufmultipliziert, sofort
integrieren. Man erhält, da y für 3? = a den Wert [c] annehmen soll:
y- ^.!/1 - - F(^-u) + je} - }c]'.
Also, wenn man nach y auflöst:
1 j/ (1 -Af ] c])' -2F.1/ (.r. - u)
—
So lange der Radikand A F bleibt, also für
% — u <
(1-Af ]c])3-F
2FM
bleibt y < ^ = r; somit sind die Voraussetzungen des Satzes 1
erfüllt, und man erhält, wenn e an Stelle von F geschrieben
wird, das
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