Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A.2)

OSKAR PERRON:

Setzt, man für ?/ und die Reihen (3.) und (4.) in die ge-
gebene Differentialgleichung ein und entwickelt nach Potenzen
von c, so ergibt sich durch beiderseitige Koeffizienten Vergleichung:
Th = A?
Th " ^ A % + /g ,
Th = A ' (- Th + F2) + 8 A F2 + A 3
und allgemein:
T^l' ^y(AiA7**'7A'7T^27T^37''')T^'<'—l)'
wo eine ganze rationale Funktion mit positiven Koeffizienten
ist. Die Funktionen <%,<%,... Hn3et. man daher der Reihe nach
durch Quadraturen, und zwar eindeutig, weil sie für % = (*.) ver-
schwinden sollen.
Um nun die Konvergenz der Reihen (3.), (4.) zu untersuchen,
betrachten wir neben der Differentialgleichung (3.) noch eine zweite:
(7.) i" = io(4i'".
v = 2
wo auch die Funktionen F,, (F) im Intervall (2.) stetig sind, und
wobei außerdem
(8.) F,,(a)>)/,,(^)[ (r = 2,3,4,...)
sein soll. Macht man für das Integral F den Ansatz
(9.) r .f + 2<p,.(.t)c",
(10.) Y'=iO.(4e,
r = 2
wo die Funktionen <F„(u) für a? = 0 verschwinden sollen, so erhält
man analog zu (5.) die Gleichungen
dA = 2 Ff, 1P2 + F. ,
^ = F2 - (2Fg + + 3Fgdt, + F,,


(11.)