Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integration von Differentialgleichungen durch Reihen.

(A.2) 5

und allgemein analog zu (6.):
(12.) <P'„ C,(UVc,
Hieraus folgt sofort, daß die Ungleichungen gelten:
(13.) [, <A(, > ] ] (r- 2,3,4,...),
daß also die Reihen (9.) und (10.) Majoranten der Reihen (3.) und
(4.) sind. Wenn daher die Reihe (10.) für ein gewisses Intervall
0<.r<u absolut und gleichmäßig konvergiert, so gilt dasselbe
von der Reihe (4.) und auch von den aus (10.) und (4.) durch
gliedweise Integration entstehenden Reihen (9.) und (3.), woraus
folgt, daß die letztere wirklich ein Integral der Differentialgleichung
(l.) darstellt. Es kommt also nur darauf an, passende Funktionen
F„(3?) zu wählen, so daß man die absolute und gleichmäßige Kon-
vergenz der Reihe (10.) behaupten kann.

An erster Stelle setzen wir
F,.(P = /i-(2f+tXV)'-3 (,-3,3,4,...),
wo A' und 1/ positive Zahlen sind. Nach (11.) und (12.) sind dann
0„(%) und 0[,(;r) ganze rationale Funktionen mit positiven Ko-
effizienten, die also für 3? > 0 positiv sind und mit 3? monoton
wachsen. Die Differentialgleichung (7.) ist jetzt die folgende:

(14.) ) W v A (.1/ + A'.r)'" '-')

AM

i-(df+^Ar^)y '
Sie geht durch die Substitution (l/-t.!A./')y^X über in:

, A X + X'
X -

2.1/ ; AM 1-X