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https://doi.org/10.11588/diglit.36492#0009
Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. (A. 2) 9
Differenziert man diese Gleichung nach c, so erhält man:
(20.)
1 1 \2F 1 1
) " 1/) -2 j " r " .!/ G '
Schließlich ergibt sich durch Vergleich der Formeln (18.) und (20.):
(^-^) IV
97
d c
oder, wenn man für Y und W die Reihen (16.) und (17.) einsetzt:
(21.) (1 !/r) ^ 22) (31) G-3 = V - (1 + ^ r22,.(^) G"'
v = 2 \ ^ = 2
Multipliziert man links aus und ordnet nach Potenzen von c, so
findet man durch Koeffizientenvergleichung:
22^ (F) - V ,
22)+, (%) — df 22). (^) = r V 22,, (^c)
also durch Integration:
22g (3;) = V3:
22,.+,(^) - df22„(F) + rV/22,.(d)d2 (r-2,3,4,...) .
0
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel sind die Funktionen 22^(jr)
sehr bequem zu berechnen. Wenn der Einfachheit halber
(23.)
.!/
gesetzt wird, erhält man für die ersten Werte von t<:
Differenziert man diese Gleichung nach c, so erhält man:
(20.)
1 1 \2F 1 1
) " 1/) -2 j " r " .!/ G '
Schließlich ergibt sich durch Vergleich der Formeln (18.) und (20.):
(^-^) IV
97
d c
oder, wenn man für Y und W die Reihen (16.) und (17.) einsetzt:
(21.) (1 !/r) ^ 22) (31) G-3 = V - (1 + ^ r22,.(^) G"'
v = 2 \ ^ = 2
Multipliziert man links aus und ordnet nach Potenzen von c, so
findet man durch Koeffizientenvergleichung:
22^ (F) - V ,
22)+, (%) — df 22). (^) = r V 22,, (^c)
also durch Integration:
22g (3;) = V3:
22,.+,(^) - df22„(F) + rV/22,.(d)d2 (r-2,3,4,...) .
0
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel sind die Funktionen 22^(jr)
sehr bequem zu berechnen. Wenn der Einfachheit halber
(23.)
.!/
gesetzt wird, erhält man für die ersten Werte von t<: