Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 (A. 2)

OSKAR PHRROA:

Nun wenden wir uns zu der Differentialgleichung (20.). Sie
hat nach dem Bewiesenen, wenn 3? irgendeine positive Zahl be-
deutet, ein Integral Y(^), welches für jc[<7\, regulär ist und für
e —y dem Grenzwert //(%) zustrebt, und zuvi7' i.y/ c 7^ e/77. ^117-
gM/drcr /bia.A/ diesem Daraus folgt aber

(29.)



= 0 , also 1/ // (3;)

1

! )enn andernfalls hätte nach einem bekannten Existenzsatz die
Differentialgleichung (20.) ein Integral welches an der Stelle
c= 7^ 7Vg'?BÜ7' ist und den Wert 77 (37) annimmt. Anderseits könnte
man aus einem ebenso bekannten Eindeutigkeitssatz schließen,
daß es 7222 7' cm Integral gibt, welches für c —>- 7\. dem Wert 77(3;)
zustrebt, so daß das Integral mit dem Integral F(3?) identisch
sein müßte, also für c = 7^ nicht regulär sein könnte. Damit ist
Gleichung (29.) bewiesen. Setzt man den Wert von 77 (r) aus (29.)
in (28.) ein, so folgt:
(30.) 1 = log (d/ 7',.) + — 3; .

A22X dieS'C7' G/eic/?1172^ 7eS'R772772 / dc7' 7Ö072CC7'^C71Z7'22dl21S' 7\.
ci72dc2i/i'g, da die Gleichung, wie leicht zu sehen, 72227' eine Wurzel
7^ hat, die kleiner als ^ istO).
Die Reihen (16.) und (17.) konvergieren für [c[<2'^, und
divergieren für ]cj >7\. Statt dessen kann man, da die Funktion
log 72 + ^ für 21 <1 mit Avachsendem 22 abnimmt, auch sagen, die
Reihen konvergieren, solange

c I < - - , log (.1/ i c
' 1/ ^ '

1
t/a

log


1
/iz7J

Es liegt nahe, die Bestimmung des Konvergenzradius der Reihen
(16.), (17.) auf Grund des einfachen Bitdungsgesetzes der Funktionen RGB)
zu versuchen, das sich in der Rekursionsformel (22.) ausdrückt. Doch scheint
das nicht leicht zu sein. Schon der Nachweis, daß der Konvergenzradius
nicht Null ist, macht erhebliche Schwierigkeiten, die wir durch die Majorante
des § 2 umgangen haben.