Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Uber die HAMtLroNschenDiiteientfalgfeichungen d. Dyn. (Erg.) (A. 7) 5

der ersten Potenz der abhängigen Variabein in den andern Diffe-
rentialgleichungen nicht eine positive ganze Zahl ist;
1H. wenn p,, ji.^, ... p,, sämtlich positiv und von u 11
verschieden sind,
111.1. für den Fall, daß keine der L ö s n n g e n ,
Al^, ... Ai ^ d e r G i e i c h u n g (3) ei n e p o s i t i v c
ganze Zahl ist,
stets ein und nur ein verschwindendes und eindeutiges Integral-
system, und außerdem unendlich viele, in u = 0 verschwindende,
nach ganzen positiven Potenzen von

entwickelbare Integralsysteme, die im allgemeinen unendlich viel-
deutig sind und nur eine algebraische endliche Aheldcutigkeit
haben, wenn Al),... A! sämtlich positive rationale Zahlen sind, und
111.2. für den Fall, daß die Lösungen Atj.Alg, ...Al^
(x n) positiv ganz s i n d,
im allgemeinen (wieder bis auf die oben zu 11.2. angegebenen
Fähe) kein in u=-0 verschwindendes und eindeutiges Integral-
system, aber unendlich viele verschwindende, nach positiven gan-
zen Potenzen von

u

M, ,
u log u ,

log u ,

U+i

M
. . U "

entwickelbare Integralsysteme, die in allen Fällen imendlich viel-
deutig sind, und von der Jogarithmischen Aheldeutigkeit ab-
gesehen nur eine algebraische endliche Viel den tigkei f haben, wenn
Alx_^i, ... Al^ positive rationale Zahlen sind.
Zur Ermittlung der Eigenschaften der Integralsysteme würde
man somit allgemein die Gleichung (3) aufzulösen und je nach
den Werten der Lösungen und der reellen Teile derselben den
vorliegenden Fall in die obige Einteilung einzuordnen haben; es
fragt sich nun, ob oder inwieweit sich zu dieser Einordnung die
Auflösung der Gleichung (3) vermeiden läßt.