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https://doi.org/10.11588/diglit.36497#0007
Über die HAMiLTONSchen Differentialgleichungen d. Dyn. IV. (Erg.) (A. 7) 7
Ist
(B.) 0<m<n,
sind also die reellen Teile Pi, Ps,---Pm negativ oder Null, also
Pm+i) Pm+2) - --Pn positiv und von Null verschieden, so wird sich
dieser Fall in II. einordnen, ob aber in 11.1. oder 11.2. wird da-
von abhängen, ob keiner oder mindestens einer der positiven
p-Werte eine ganze Zahl ist. Aber die letztere Frage kann ent-
schieden werden, ohne die Gleichung (3) aufzulösen und zwar auf
Grund der nachfolgenden, sehr einfachen Bemerkung:
Unter der Annahme eines reellen p und q folgt aus (4):
(5) P(p,q) = 0, Q(p,q) = 0,
umgekehrt wird aber auch für jedes reelle oder komplexe Werte-
paar p und q, welches den Gleichungen (5) genügt:
P(ihq) + iQ(izq) = D (p + qi) = o ,
also p + qi eine Lösung der Gleichung (3) sein. Es liefern also alle
reellen und komplexen Lösungspaare der Gleichungen (5) alle Lö-
sungen der Gleichungen (3) und nur diese.
Sei z. B. die Gleichung gegeben:
(6) kF + 2AF-3M-10 = 0
oder für M = p + qi:
(p + qi)3 + 2 (p + qi)2 — 3 (p + qi) — 10 = 0 ,
so folgen für reelle p und q:
(7) P (p, q) = p^ — 3pq^ + 2p^ — 2q" — 3p — 10 = 0
(8) Q(p,q) = 3p'q-q3 + 4pq-3q = 0,
und es genügen diesen beiden Gleichungen die reellen Wertepaare
p = 2, q = 0; p=—2, q=l; p=—2, q = —1, welche die 3 Lösungen
Ist
(B.) 0<m<n,
sind also die reellen Teile Pi, Ps,---Pm negativ oder Null, also
Pm+i) Pm+2) - --Pn positiv und von Null verschieden, so wird sich
dieser Fall in II. einordnen, ob aber in 11.1. oder 11.2. wird da-
von abhängen, ob keiner oder mindestens einer der positiven
p-Werte eine ganze Zahl ist. Aber die letztere Frage kann ent-
schieden werden, ohne die Gleichung (3) aufzulösen und zwar auf
Grund der nachfolgenden, sehr einfachen Bemerkung:
Unter der Annahme eines reellen p und q folgt aus (4):
(5) P(p,q) = 0, Q(p,q) = 0,
umgekehrt wird aber auch für jedes reelle oder komplexe Werte-
paar p und q, welches den Gleichungen (5) genügt:
P(ihq) + iQ(izq) = D (p + qi) = o ,
also p + qi eine Lösung der Gleichung (3) sein. Es liefern also alle
reellen und komplexen Lösungspaare der Gleichungen (5) alle Lö-
sungen der Gleichungen (3) und nur diese.
Sei z. B. die Gleichung gegeben:
(6) kF + 2AF-3M-10 = 0
oder für M = p + qi:
(p + qi)3 + 2 (p + qi)2 — 3 (p + qi) — 10 = 0 ,
so folgen für reelle p und q:
(7) P (p, q) = p^ — 3pq^ + 2p^ — 2q" — 3p — 10 = 0
(8) Q(p,q) = 3p'q-q3 + 4pq-3q = 0,
und es genügen diesen beiden Gleichungen die reellen Wertepaare
p = 2, q = 0; p=—2, q=l; p=—2, q = —1, welche die 3 Lösungen