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https://doi.org/10.11588/diglit.36497#0010
10 (A.7)
LEO KoENIGSBERGER:
(x < n) als positiv ganz ergeben, der Fall 111.2. in Frage kommen,
worin die in 111.1. nach Potenzen von
Ms
u,u ,u
.. u
in 111.2. nach Potenzen von
Mi, M,.
u, u logu, u logm
M.. . M
u log u, u
x+1
fortschreitenden Integralsysteme im allgemeinen in u = 0 ver-
schwindende unendlich vieldeutige Funktionen sind, zu deren Ent-
wicklung man im ersten Falle sämtliche Lösungen ...M^
der Gleichung (3), im zweiten die Lösungen
derselben kennen muß.
Bemerkt man aber, daß, wenn Mi, Mg, . ..A!„ positive rational-
gebrochene Zahlen sind, die, auf einen gemeinsamen Nenner N
gebracht, die Form haben mögen:
Mi
KL
N
AL
KL
"IN
AL
Kln
so würde das zu 111.1. gehörige vieldeutige Integralsystem nach
1
ganzen Potenzen von riN fortschreiten und somit eine endlich viel-
deutige Funktion sein, und umgekehrt müßten, wenn das Inte-
gralsystem von einer endlichen algebraischen Vieldeutigkeit sein
soll, sämtliche Lösungen der Gleichung (3) rational-gebrochen sein.
Dies kann aber wieder ohne Auflösung von (3) durch elementare
Methoden unmittelbar festgestellt werden; denn sei die rational
gemachte Gleichung (3):
<P (Al) - D (M) Di (Al) ... Dp_i(M) = 0 ,
so werden alle rational-gebrochenen Lösungen von (3) auch <p (Al)
zu Null machen, und man braucht somit nur alle so beschaffenen
Lösungen von <p(A!) zu suchen und diejenigen auszuwählen, welche
(3) genügen; ist aber
?(M) = y-oAD" + x, + ... + 0^ = 0
LEO KoENIGSBERGER:
(x < n) als positiv ganz ergeben, der Fall 111.2. in Frage kommen,
worin die in 111.1. nach Potenzen von
Ms
u,u ,u
.. u
in 111.2. nach Potenzen von
Mi, M,.
u, u logu, u logm
M.. . M
u log u, u
x+1
fortschreitenden Integralsysteme im allgemeinen in u = 0 ver-
schwindende unendlich vieldeutige Funktionen sind, zu deren Ent-
wicklung man im ersten Falle sämtliche Lösungen ...M^
der Gleichung (3), im zweiten die Lösungen
derselben kennen muß.
Bemerkt man aber, daß, wenn Mi, Mg, . ..A!„ positive rational-
gebrochene Zahlen sind, die, auf einen gemeinsamen Nenner N
gebracht, die Form haben mögen:
Mi
KL
N
AL
KL
"IN
AL
Kln
so würde das zu 111.1. gehörige vieldeutige Integralsystem nach
1
ganzen Potenzen von riN fortschreiten und somit eine endlich viel-
deutige Funktion sein, und umgekehrt müßten, wenn das Inte-
gralsystem von einer endlichen algebraischen Vieldeutigkeit sein
soll, sämtliche Lösungen der Gleichung (3) rational-gebrochen sein.
Dies kann aber wieder ohne Auflösung von (3) durch elementare
Methoden unmittelbar festgestellt werden; denn sei die rational
gemachte Gleichung (3):
<P (Al) - D (M) Di (Al) ... Dp_i(M) = 0 ,
so werden alle rational-gebrochenen Lösungen von (3) auch <p (Al)
zu Null machen, und man braucht somit nur alle so beschaffenen
Lösungen von <p(A!) zu suchen und diejenigen auszuwählen, welche
(3) genügen; ist aber
?(M) = y-oAD" + x, + ... + 0^ = 0