Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Lösungszahl zueinander adjungierter Randwertaufgaben. (A. 1) 5
lung: Wie verhält sich die Anzahl der Lösungen, wenn man wohl
den Differentialausdruck als selhstadjungiert annimmt, aber die
Randbedingungen nicht als GREEN sehe; also für zz beliebige lineare
Randbedingungen vorschreibt und dann die für zz so bestimmt, daß
die rechte Seite von (2) verschwindet? Da der Kern obigen Theo-
rems in der linearen Beziehung hegt, die der Satz (2) zwischen
den Gleichungen des adjungierten Problems vermittelt, wenn eine
Lösung Mp existiert, und eine ebensolche Beziehung sich auch bei
der jetzigen Fragestellung ergibt, so läge es nahe, das gleiche Re-
sultat zu erwarten. Wir untersuchen zunächst den gewöhnlichen
Differentialausdruck, der jetzt als selhstadjungiert angenommen
werden soll.
Die allgemeinen Randbedingungen, die in Frage kommen,
seien geschrieben:
&i (") — ^n K Ais ZZ^ — R12 ZZ^ = 0
.K (") = Gi " , + W "1 - W, 'C, - /A,, 4 =; 0 ,
während
(4) L (zz) ^ (p zz')' + r zz = 0 ; 1/ (z^) L (z^) 0 .
Alan bestimmt die adjungierten Randbedingungen, indem man
aus diesen Gleichungen zwei der Größen zz„, zz^, zz^, zz^ durch die
zwei übrigen ausdrückt. Das ist immer möglich, mit Ausnahme
des Falls (der für spezielle Parameterwerte eintreten könnte), daß
in der Matrix
]^n
[^21 ^22 ^21 ^22
sämtliche Determinanten verschwinden. In diesem Falle (um ihn
vorweg zu erledigen) ist nur eine Randbedingung in zz vorhanden,
so daß stets eine Lösung existiert. Die adjungierte Aufgabe kann
in diesem Falle nicht eindeutig definiert werden, sondern hängt
von dem allgemeinen Fall ab, von dem der Grenzübergang zu dem
betreffenden Parameterwerte stattfindet. Wesentlich ist aber, daß
die entsprechende inhomogene Aufgabe

L(;z) = F(F) ; ^(zz) - ^ : ^(zz) -