Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Lösungszahl zueinander adjungierter Randwertaufgaben. (A. 1) 7

Die hier verwandte Schlußweise ist aber nicht auf Randwert-
aufgaben bei partiellen Differentialgleichungen übertragbar. Dem
Ansätze (8) entspricht nämlich dann ein Ansatz mit unendlich vie-
len Konstanten y^, 72? - -- in inf., und es handelt sich entsprechend
um unendlich viele homogene Gleichungen. Alan kann aber für
ein solches System im allgemeinen nicht aus der Existenz einer
linearen, homogenen Beziehung zwischen den Gleichungen auf die
Existenz einer Lösung schließen, und umgekehrt folgt aus der
Existenz eines Lösungssystems nicht die Notwendigkeit des Be-
stehens linearer Beziehungen^. In der Tat lassen sich Beispiele
angeben, für die die Lösungszahl des adjungierten Problems nicht
mit der des ursprünglichen übereinstimmt.
Es handle sich um die Integration der Gleichung

(9)


K 32 M
2 ^ ^ 2 y"

für das innere eines Kreises + = Wenn mit 9^/93 und 9^/37?
die Ableitung in Richtung der Kreistangente, bzw. der inneren
Normalen bezeichnet wird, so sei die Randbedingung für u:

(10)

d") = K) — +;<($)

d $

T)

längs des Kreises <S, worin z und p. stetige, auf dem Kreis ein-
deutige Funktionen der Bogenlänge $ bedeuten, die keine gemein-
same Nullstelle haben. Sie können noch von einem Parameter
abhängen.
Es sei nun angenommen, daß für bestimmte Parameterwerte
zwischen den Gleichungen (9), (10) eine, bzw. mehrere homogene,
lineare Identitäten bestehen, so daß für alle Funktionen u, die
(9) genügen, gelte:
9x;
3 3
4 Für die Bedingungen, unter denen sich ein System mit unendlich
vielen Unbekannten wie ein solches mit endlicher Variabeinzahl verhält,
vgl. z. B. HiLBERT, 1. c. 4. Mitt. (1906) bzw. Kap. XII. E. ScHMiDT: Über
Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend.
circ. Mat., Palermo, 25 (1908).

(ii) +