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https://doi.org/10.11588/diglit.36518#0007
Systeme unendlich vieler Differentialgleichungen.
(A. 10) 7
aus der durch Differentiation
dy^
"1— = + <Ai ^/i + ^2^/2 + "*
dx
folgt. Mithin ist y,-[i = l,2,...] wirklich eine Lösung von (l).
Aus (13) oder (10) ergibt sich noch -
§ 2. Analytischer Charakter und Eindeutigkeit
der Lösung.
Der analytische Charakter von y, ergibt sich aus dem von
Zunächst ist für m = 0 in 6* analytisch. Angenommen,
der Beweis wäre schon für m —1 geliefert. Nun ist
Der Integrand ist eine gleichmäßig konvergente Reihe in ^ ana-
lytischer Funktionen, also selbst analytisch, mithin auch das Inte-
gral nO'C Demnach ist die durch die gleichmäßig konvergente
Reihe ^ definierte Funktion y^ ebenfalls analytisch.
Die Eindeutigkeit der Lösung läßt sich zeigen, wenn wir nur
gleichmäßig beschränkte Lösungen ins Auge fassen, d. h. solche, für
die ] y;l unterhalb einer von x und i unabhängigen Schranke bleibt.
Angenommen, es gäbe noch eine zweite derartige Lösung von (l),
etwa Z; [f ^ 1,2,...], die denselben Anfangsbedingungen Z;
genügte. Dann wäre y^ —z^ eine Lösung mit den Anfangsbedingun-
gen (y.-z;)}*=' = 0. Aus
dx
u (yi ** ^1) + ^2 (^2 * ^2) +
^1,2,
folgt dann also:
?/t'-A = /}^i(yi-Zi) + ^(ya-zg) +---) dx .
(A. 10) 7
aus der durch Differentiation
dy^
"1— = + <Ai ^/i + ^2^/2 + "*
dx
folgt. Mithin ist y,-[i = l,2,...] wirklich eine Lösung von (l).
Aus (13) oder (10) ergibt sich noch -
§ 2. Analytischer Charakter und Eindeutigkeit
der Lösung.
Der analytische Charakter von y, ergibt sich aus dem von
Zunächst ist für m = 0 in 6* analytisch. Angenommen,
der Beweis wäre schon für m —1 geliefert. Nun ist
Der Integrand ist eine gleichmäßig konvergente Reihe in ^ ana-
lytischer Funktionen, also selbst analytisch, mithin auch das Inte-
gral nO'C Demnach ist die durch die gleichmäßig konvergente
Reihe ^ definierte Funktion y^ ebenfalls analytisch.
Die Eindeutigkeit der Lösung läßt sich zeigen, wenn wir nur
gleichmäßig beschränkte Lösungen ins Auge fassen, d. h. solche, für
die ] y;l unterhalb einer von x und i unabhängigen Schranke bleibt.
Angenommen, es gäbe noch eine zweite derartige Lösung von (l),
etwa Z; [f ^ 1,2,...], die denselben Anfangsbedingungen Z;
genügte. Dann wäre y^ —z^ eine Lösung mit den Anfangsbedingun-
gen (y.-z;)}*=' = 0. Aus
dx
u (yi ** ^1) + ^2 (^2 * ^2) +
^1,2,
folgt dann also:
?/t'-A = /}^i(yi-Zi) + ^(ya-zg) +---) dx .