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https://doi.org/10.11588/diglit.36523#0008
8 (A. 15)
HEUNRICH LtEBMANN:
Scheitelpunkts Ag ein beliebiger andrer Punkt A der Parabel ge-
nommen wird. Eine affine Transformation nämlich, welche die
Parabel mit sich selbst und Ao mit 6* zur Deckung bringt, ver-
wandelt die in S*Q hyperoskulierenden Kegelschnitte in die Kegel-
schnitte, die die Parabel in 6* hyperoskulieren. Für diese Kegel-
schnitte hat man alle Elemente, die zur Konstruktion gebraucht
werden: Der Ort der Mittelpunkte Tf ist die durch 6* gelegte Par-
allele zur Parabelachse, die neuerdings so genannte oAffinnormale«.
Der zu AfA konjugierte Durchmesser ist parallel zur Parabeltan-
gente in A, und seine beiden Endpunkte liegen auf der zu
affinen Parabel, die ja auch leicht zu zeichnen ist, und zwar mit
Benützung eines Parallelkoordinatensystems, dessen
%-Achse die Parabeltangente, dessen y-Achse die Parallele zur
Parabelachse ist. Man erhält das affine Bdd von (4), wenn man
in diesem System die Ordinaten der spiegelnden Parabel verdop-
pelt. Somit ist für jeden Kegelschnitt, der die Parabel in A hyper-
oskuliert, ein Paar konjugierter Durchmesser nach Richtung und
Größe gegeben, und daraus können dann die Brennpunkte P^P^
leicht durch bekannte Konstruktionen gefunden werden.
3. Um diese elementare Betrachtung, die mit Ausschaltung
der Kaustik direkt auf die Konstruktion der Kaustikspitzen aus-
geht, zum Abschluß zu bringen, wollen wir der deskriptiven Ent-
wicklung eine analytische folgen lassen.
Zum Koordinatenanfang eines Systems nehmen
wir ein Punkt A der Parabel (1), zur y-Achse die innere Normale.
Die Parabel (1) wird in diesem System dargestellt durch
' - \2 A
3; cos u — y sm a) -
cosa
d)
wobei a der Winkel der Achse mit der y-Achse ist. Der Krüm-
mungsradius an der Stelle A ^ = y = 0) ist dann
(A
<pQ = p - CO: ' a .
Die Berechnung der gesuchten Brennpunktpaare P^Pg wird
HEUNRICH LtEBMANN:
Scheitelpunkts Ag ein beliebiger andrer Punkt A der Parabel ge-
nommen wird. Eine affine Transformation nämlich, welche die
Parabel mit sich selbst und Ao mit 6* zur Deckung bringt, ver-
wandelt die in S*Q hyperoskulierenden Kegelschnitte in die Kegel-
schnitte, die die Parabel in 6* hyperoskulieren. Für diese Kegel-
schnitte hat man alle Elemente, die zur Konstruktion gebraucht
werden: Der Ort der Mittelpunkte Tf ist die durch 6* gelegte Par-
allele zur Parabelachse, die neuerdings so genannte oAffinnormale«.
Der zu AfA konjugierte Durchmesser ist parallel zur Parabeltan-
gente in A, und seine beiden Endpunkte liegen auf der zu
affinen Parabel, die ja auch leicht zu zeichnen ist, und zwar mit
Benützung eines Parallelkoordinatensystems, dessen
%-Achse die Parabeltangente, dessen y-Achse die Parallele zur
Parabelachse ist. Man erhält das affine Bdd von (4), wenn man
in diesem System die Ordinaten der spiegelnden Parabel verdop-
pelt. Somit ist für jeden Kegelschnitt, der die Parabel in A hyper-
oskuliert, ein Paar konjugierter Durchmesser nach Richtung und
Größe gegeben, und daraus können dann die Brennpunkte P^P^
leicht durch bekannte Konstruktionen gefunden werden.
3. Um diese elementare Betrachtung, die mit Ausschaltung
der Kaustik direkt auf die Konstruktion der Kaustikspitzen aus-
geht, zum Abschluß zu bringen, wollen wir der deskriptiven Ent-
wicklung eine analytische folgen lassen.
Zum Koordinatenanfang eines Systems nehmen
wir ein Punkt A der Parabel (1), zur y-Achse die innere Normale.
Die Parabel (1) wird in diesem System dargestellt durch
' - \2 A
3; cos u — y sm a) -
cosa
d)
wobei a der Winkel der Achse mit der y-Achse ist. Der Krüm-
mungsradius an der Stelle A ^ = y = 0) ist dann
(A
<pQ = p - CO: ' a .
Die Berechnung der gesuchten Brennpunktpaare P^Pg wird