Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A.15)

HEINRICH LlBBMANN:

wobei gesetzt ist:

(151

cot 1/1 = ^ .
dp

Diese Formeln (15) geben in Verbindung mit (8) und (9') die ge-
suchte Abbildung; wir dürfen sie die CruTzd/orwefn der /cafopdiAc/MW
am Spiegel (8) nennen.
Man kann auch so sagen: Fügt man zu der Grundformel (13),
die gewissermaßen als nei/uuho direcfrhr der Berührungstransfor-
mation bezeichnet werden kann, welche den Punkten die Kausti-
ken zuordnet, hinzu:

1 1 2^ 2o'sinip

(13')

7'i Cg pCOSip 3p^

so hat man die katoptrische Punkttransformation, welche jedem
Punkte d\ die Kaustikspitze P^ zuordnet und umgekehrt.
Beide Transformationen sind, von dem trivialen und hier
nicht miteinbezogenen Fall einer spiegelnden Geraden abgesehen,
selbstverständlich keineswegs eineindeutig. Bei der PerüArun^-
?raMs/or7n%ho77 ist die Anzahl der einem Linienelemente zugeord-
neten Elemente gleich der Ordnung der spiegelnden Kurve, denn
jeder Schnittpunkt 5", V, ... des vom Linienelement ausgehenden
Strahls gibt ein Linienelement als Bild.
3. Um den Zusammenhang mit den Entwicklungen von § 2
herzustellen, wollen wir zunächst einmal zeigen, daß für jeden
Spiegel bei festgehaltenem A die Mitten df der Strecken P^P^ auf
einer Geraden liegen.
In der Tat erhält man für die Koordinaten von Tf aus

(9') und (15):



2

'2


sin r--— cos r ,
3u /


COS T +

sm r

also kommt für den geometrischen Ort von P die Gleichung