Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Randwertaufgabe für A(u)= 0.

(A.16) 15

steht, welcher ^ im Innern enthält. Da p(x,y;^,-/)) und cp(x,y)
als Funktionen auf $ erklärt sind (vgl. § 2, Seite 10), kann man
nun das Doppelintegral bilden:
^Ci) = <PPde .
Dies ist eine im Innern von stetige und beliebig oft stetig dif-
ferentiierbare Funktion des Parameterpnnktes Es gilt aber
= / / ?pde = (( (ppde,

solange der Parameterpunkt gleichzeitig den Bereichen und
angehört. Hingegen hat man
wenn iß(^,-/]) als Punkt von A betrachtet in aber nicht zugleich
in gelegen ist, während (^", */]") diejenige Stelle von 3E bedeutet,
die dem Punkte ijß vermöge einer Decktransformation entspricht.
Aus dem soeben Bewiesenen folgt die Behauptung A.) Für die
gemeinsamen Punkte der Schnitte a„, b„ oder c„ schließt man
ganz entsprechend. Und ganz ähnlich beweist man die Behaup-
tung B.)
Nun kann die Diskussion der Integralgleichungen in Angriff
genommen werden.
Es hatte sich gezeigt, daß jede a. e., der Differentialgleichung
(D) L(u) = f(x,y)
genügende, zur primären Charakteristik gehörige Funktion u(x,y)
der Integralgleichung
(I) (( u A (p) ds - u (x,y) = (( p f ds
3:^
genügt. Umgekehrt sind zufolge B.) die Lösungen von (I) a.e.
und gehören multiplikativ zur primären Charakteristik, sobald
das gleiche für die Funktion f(x,y) auf $ feststeht.